Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Так как и , то имеет место неопределенность вида .

Возможны 2 способа решения примера.

1-й способ. Вспомним, что есть замечательный предел .

Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом:

.

Имеем

(здесь ),

и

.

Таким образом,

.

2-й способ.

.

.

Причем при . Выразим из равенства

; ; .

Таким образом,

.

Выполним замену

.

Так как

, а ,

то в итоге предел равен .

Глава 5. Непрерывность функции. Односторонние пределы.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также

(5.1)

Точки, в которых равенство (5.1) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Обозначим за х разность между двумя значениями аргумента х = х₂ –х₁, а за f (x) разность между двумя значениями функции f(x) = f(x₂) - f(x₁). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если х 0, то и f (x)  0.

Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f(x) слева, если хx₀ оставаясь все время меньше х₀ (x < x₀). Запись предела слева

Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае хx₀ оставаясь все время больше х₀ (x > x₀). Запись предела справа

Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х₀

= = f(x₀).

В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х₀ , то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.

Все элементарные функции, а также любая их суперпозиция непрерывны в своей области определения.

Пример 1. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

, .

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

,

, ,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Пример 2. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва . Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

48