Глава 3. Правила вычисления пределов функции.

Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х₀ есть величина бесконечно малая, т. е., если ,

то

f (x) = A +  (х) (3.1)

где  (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х₀.

Доказательство. Обозначим за  (х) разность между функцией и ее пределом

 (х) = f (x) – A.

Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию x₀ - х< . Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что  (х) есть величина бесконечно малая.

Справедливы следующие свойства пределов функций:

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.

(3.2)

Если при хx₀ существуют конечные пределы функций f(x) и g(x)

(3.3)

то справедливы следующие утверждения

3. . (3.4)

Действительно

где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е.

α(х) + β (х) = γ(х),

то

.

Отсюда следует, что

4. (3.5)

5. (3.6)

6. (3.7)

7. (3.8)

Пример 1. Вычислить .

Решение. Так как

, а ,

то по теореме о пределе частного получаем, что .

Как правило применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

, так как и .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

.

Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.

Теорема. Если функция неотрицательна в окрестности точки x₀, то и ее предел при xx₀ тоже величине неотрицательная

. (3.9)

Доказательство ведем методом «от противного».

Предположим, что A < 0, т.е. – A > 0. В определении предела подразумевается, что в качестве ε можно выбрать любое положительное число. Возьмем , по нему найдем зависящее от  положительное число () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x₀ - х< , справедливо . Раскроем модульное неравенство

Рассмотрим правую часть неравенства и перенесем А направо. Получим

или

.

Это означает, что функция отрицательна, что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если f (x) < g (x), то и . (3.10)

Первый замечательный предел

. (3.11)

Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 4.1)

Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично.,

Площадь треугольника ВОА

.

Рис. 4.1. Первый замечательный предел.

Площадь сектора ВОА

.

Площадь треугольника DОА

.

Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение

т.е.

Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x). Получим

Или, для обратных величин

Так как , то и . Что и требовалось доказать.

Следствие: (3.12)

Второй замечательный предел, число е.

Число е определяется как следующий предел

, или , где число е = 2,718…., (3.13)

Число е является основанием так называемых натуральных логарифмов .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.