Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Множество – это любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами.

Способы задания множеств.

1 Множество можно задать, перечислив все его элементы.

2) Указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Пример: А – множество двузначных чисел

Тогда характеристическим свойством множества А является свойство ” быть двузначным числом”

Характеристическое свойство можно (не всегда) задать в символической форме.

Например, множество А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так:

А= х х х 7, х – элемент множества А.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и В.

АВ=хх  А и х  В

АВ=, если А и В не имеют общих элементов.

Пример: Рассмотрим множества А=а,b,c,d,e и В=c,d,e

AВ=c,d,e=В. Тогда В является подмножеством множества А. Обозначают ВА

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

АВ=хх А или хВ

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первое компанента которых принадлежит множеству А, а вторая компанента принадлежит множеству В.

Обозначают АВ.

АВ=(х;у)хА  уВ

Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х  хRх для  хХ.

Например: 1) отношение равенства

2) отношение “кратно” на N

3. отношение подобия треугольников

Отношение перпендикулярности не рефлексивно, т.к. отрезок не перпендикулярен сам себе.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняются условия : из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом Х

Н а графе это

R симметрична на Х (хRууRх)

Например, симметричными будут следующие отношения:

• отношение параллельности на множестве прямых.

• отношение подобия треугольников

Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R c элементом х не находится

R антисимметрично на Х <=> (хRу  х уRх)

На графе

Например, антисимметричными будут следующие отношения: длиннее, больше, больше на

Отношением R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом Z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом Z.

R транзитивно на Х  (хRу  уRzxRz)

Например, АВ=2см., АС=3см., и ДК=4см. Отношение “меньше”.

Если АВ<АС и АС<ДК, то АВ<ДК

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z, содержат стрелку, идущую от х к z.