Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.

, где m=const

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е

4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то

Определенный интеграл широко применяется на практике, в частности, при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращении.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы. Символически записываются так: ; ;

Решение, содержащее произвольную постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения.

Решение, в которое поставлено числовое значение С, называется частным решением дифференциального уравнения.

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений:

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D>0	D=0	D<0
Корни характеристического уравнения
Множества решений

Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения

Составим характеристическое уравнение:

Решим уравнение, как квадратное уравнение:

<0

Корнями уравнения служат комплексно-сопряженные числа. Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид:

Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма вида

, где u_1, u_.2., u_{3, …,} u_{n …-} члены ряда.

Частичной суммой называется сумма n- первых членов ряда и обозначается

. Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма стремиться к пределу S, то ряд, называется сходящимся, а число S- суммой сходящегося ряда, т.е. .

Необходимый признак сходимости ряда:

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремиться к нулю:

Достаточный признак расходимости ряда:

Ряд , - расходится, если при увеличении номера n общий член ряда отличен от нуля:

Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости ряда и достаточный признак расходимости

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда, т.к. . Следовательно, ряд - расходится.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

, выполняется условие , то ряд сходится при L<1 и расходится при L>1. (Признак не дает ответа, если L=1).

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера: .

, подставив в общий член вместо n число (n+1), получим .

Найдем предел отношения (n+1)-го члена ряда к n-му члену при :

L= <1, следовательно ряд сходится.

Признак сходимости Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при , то ряд сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, а знакопеременный ряд сходится.

Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ряда:

Члены ряда монотонно убывают: >…

Найдем предел общего ряда:

Следовательно, ряд сходится. Выясним, сходится абсолютно или условно ряд

, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.