- •Курс лекций по дисциплине
- •Введение
- •4. Введение в математический анализ
- •4.1. Понятие функции и аргумента Математический анализ изучает переменные величины и функциональные зависимости между ними.
- •4.2 Пределы функции в точке и на бесконечности
- •4.3. Непрерывность функции и точки разрыва
- •4.4. Производная функции
- •4.5. Дифференцирование функций
- •Практическое занятие 2.
- •I Производная.
- •II. Производная сложной функции
- •3.Найти интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба кривой Гаусса
- •4.Найти асимптоты кривых
- •4.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
- •4.6. Производные высших порядков
- •4.7. Исследование функций с помощью производных
- •4.7.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.7.2.Признак монотонности функций
- •4.7.3. Локальные экстремумы функций
- •4.7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба
- •4.7.5. Асимптоты графиков функций
- •4.7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •Решение:
4.7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков
Общая схема исследования функций и построения графиков включает следующие этапы:
Находится область определения функции D(y);
Находятся точки пересечения графика функции с осями координат: у(0) и у(х)=0 и определяются интервалы знакопостоянства функции;
Определяются точки разрыва функции, в которых нарушаются условия непрерывности, и вычисляются односторонние пределы в этих точках;
Находятся вертикальные асимптоты в точках бесконечного разрыва, а также наклонные и горизонтальные асимптоты при х ∞;
Находятся критические точки первого рода, в которых первая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы монотонности, а по изменению знака определяются точки локального экстремума;
Находятся критические точки второго рода, в которых вторая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы выпуклости и вогнутости, а по изменению знака определяются точки перегиба;
Строится график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости рассчитывают несколько контрольных значений функции по её формуле.
Пример выполнения контрольной работы по темам 1-4
Предлагаемый пример является одним из вариантов контрольной работы, предназначенной для студентов заочного отделения, а также используемой, как сводная контрольная для студентов дневного отделения.
Контрольная работа включает четыре задания по первым четырем темам курса.
Контрольная работа
ЗАДАНИЕ 1: Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение:
1) Вычислим определители системы и неизвестных , х, у и z.
2) Найдем решение системы по формулам Крамера:
х0 ; у0 = z0 =
П роверка: (верно).
Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.
ЗАДАНИЕ 2: Даны три точки А(2;-1), В(3;0), С(4;1).
Найти вектор:
Решение:
1) Найдем координаты векторов:
Выполним операции над векторами:
ЗАДАНИЕ 3: Записать уравнения: 1) стороны АС, 2) высоты CD и 3) медианы ВЕ в треугольнике с вершинами А(-8;3), В(-6;0), С(6;-5).
Р ешение:
1) Составим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
14*(у - 3)=(-8)*(х + 8)
8х + 14у + 22=0 – искомое уравнение стороны АС;
2) Высота CD АВ .
Найдем и
Составим уравнение высоты CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С(6;-5) с заданным угловым коэффициентом : - искомое уравнение высоты CD с угловым коэффициентом. Запишем его в общем виде, умножив обе части уравнения на 3: 2х-3у-27=0- общее уравнение высоты CD;
3) Медиана ВЕ проходит через середину стороны АС. Найдем координаты Е(хЕ;уЕ)-середины отрезка АС по формулам: . Е (-1;-1) - середина стороны АС.
Составим уравнение медианы ВЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
5у = -х-6
х + 5у + 6=0 – искомое уравнение медианы ВЕ;
ЗАДАНИЕ 4: Продифференцировать функцию: .