Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lektsii_pervyy_kurs_vecherniki_dif_ischislenie....docx

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2019

Размер:

536.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

4.2 Пределы функции в точке и на бесконечности

Введем понятие предела функции в точке и на бесконечности.

Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента к числу х_0,т.е. х→х₀. Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x₁,x₂,…x_n,…}={x_n}, общий член которой x_n неограниченно близко приближается к числу х₀, т.е. стремится x_n→х_0.При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x₁), f(x₂),…f(x_n),…} = {f(x_n)}.

Д адим определение предела функции в точке.

Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х₀, если для любой последовательности значений аргумента {x_n}, стремящейся к х_0,т.е. x_n→х₀, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} стремится к числу А_,т.е. f(x_n)→A.

Предел в точке обозначается: .

Существуют также односторонние пределы в точке - пределы слева и справа, когда значения аргумента приближаются к точке х=х₀со стороны больших или меньших значений:

Теорема. Для того чтобы функция имела у = f(х) имела предел в точке х=х₀ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой правый и левый пределы, которые и определяют предел функции в точке:

Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до бесконечности. Дадим Определение:

Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х→∞, если для любой последовательности значений аргумента, стремящейся к бесконечности, т.е. x_n→∞, соответствующая последовательность значений функции стремится к числу А, т.е. f(x_n)→A.

Предел на бесконечности обозначается: .

Отметим, что функция может иметь пределы как на +∞, так и на -∞: .

замечательные пределы и их следствия

Первый замечательный предел: или ,

где u=u(x)→0 при x→0

Следствия из первого замечательного предела:

; ; .

Пример. .

Второй замечательный предел: или , где е 2.73…-натуральное число, а log_ex = lnx называется натуральным логарифмом.

Следствия из второго замечательного предела:

; ; ; .

бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение: Функция называется бесконечно малой в точке х=х₀ или на бесконечности при х, если её пределы равны нулю: .

О пределение: Функция называется бесконечно большой в точке х=х₀ или на бесконечности при х, если её пределы равны бесконечности: .

Следует отметить, что одна и та же функция может быть одновременно бесконечно малой или бесконечно большой в разных точках. На рисунке функция является бесконечно малой в точке х=1 и при , а в точке х=0 эта функция является бесконечно большой.

Теорема о связи бесконечно малых или бесконечно больших функций: Если функция является бесконечно малой в точке х=х₀ или на бесконечности при х, то функция является бесконечно большой и наоборот, если - бесконечно большая функция, то является бесконечно малой функцией.

Пример. Функция является б.малой в точке х=2, т.к. , а функция является б.большой в точке х=2, т.к. .

Определение: Две бесконечно малые функции в точке х=х₀ или на бесконечности при х называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице,

т.е. .

При нахождении пределов б.малые функции можно заменять на эквивалентные.

Составим таблицу эквивалентных бесконечно малых функций, основываясь на двух замечательных пределах и их следствиях.

таблица эквивалентных бесконечно малых функций

sinu~ u; tgu~ u; arcsinu~ u; arctgu~u,
е^u-1~u; 3)a^u-1~u lna; 4)ln(1+u) ~u; 5)(u+1)^ ~ u; 6) (1-cosu)~ ,

где u=u(x)→0 –б.малая функция;

Теорема об арифметических операциях над пределами: Если функции f(x) и имеют конечные пределы в точке х=х₀ или на бесконечности при х , то

;
;
при условии .

вычисление пределов

При вычислении пределов необходимо выделить случаи когда функция определена или неопределена в предельной точке.

Если функция определена в предельной точке х=х₀, то вычисление предела сводится к вычислению частного значения функции в этой точке путем подстановки в неё значения аргумента, т.е. .

Пример. .

Если функция неопределена в предельной точке х=х₀, то для характерных неопределенностей типа: имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей.

1. Неопределенность .

Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и его следствия, а также можно провести замену эквивалентных б.малых функций.

П ример. = sin² x=(sinx)²~x²; arctg3x~3x; (e⁶^x-1) ~6x =

= .

Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить и сократить сомножитель, стремящийся к 0.

Пример. .

Неопределенность раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены б.большой переменной х→ на новую б.малую переменную 0.