Излучение э/м волн совокупностью когерентных источников

Рассматриваемое поле, создаваемое источником свет, представляет собой газ излучающих атомов. Атом, находящийся в точке посылает в точку наблюдениямонохроматическую волну, которую можно описать следующим образом:

,

где φ_j – начальная фаза, A_j – амплитуда волны, S – возмущение, k=2π/λ – волновое число.

В общем случае э/м волна может быть описана следующим образом: S=f(t‑x/V), где функция f показывает, по какому закону изменяется с течением времени функция S. Вид функции f может быть произвольным. Особое значение имеет случай, когда f – sin или cos. Тогда S=a∙sin(2π/T)(t-x/V) (1).

Значение S зависит от выбора отсчета времени и от координаты х. Если φ≠0, то S=a∙sin[2π/T(t-x/V)+φ]. Если начальные фазы всех волн совпадают, или мы имеем дело с одной волной, то только тогда можно принять φ=0. Вид функции (1) показывает, что она периодична во времени с периодом Т, но она еще и периодична по аргументу х. Если дать х приращение λ=VT, т.е. х→х+λ, то значение функции не изменится. Расстояние по х=λ определяет точки, в которых колебания совершаются в данный момент времени в одной и той же фазе.

Еще один вид: S=a∙sin2π(t/T-x/λ). Если ввести ω=2π/Т, тогда S=a∙sin(2π/T∙t-2π/λ∙x)=a∙sin(ωt-kx). Если вместо тригонометрических функций ввести экспоненциальные, это часто облегчает объяснение многих вопросов теории волн и колебаний:

cosψ=Re exp(iψ), sinψ=Im exp(iψ).

a∙exp i[ωt+δ]=a∙exp(iδ)∙exp(iωt)=c∙exp(iωt)

Здесь a∙exp(iδ) – комплексная амплитуда (амплитуда с учетом начальной фазы).

В выражение для С входит как обычная амплитуда, так и начальная фаза. Для того, чтобы найти амплитуду колебаний (вначале находится ее квадрат) a²=c∙c^*=a∙exp(iδ)∙a∙exp(-iδ). Пользуясь показательной функцией, запишем еще одно выражение:

S=exp[i(ωt-kx)]=a∙exp(-ikx)∙exp(iωt) (5)

Волну, выраженную в одной из форм (1)–(5) будем называть монохроматической волной.

Скорость распространения монохроматической волны есть скорость, с которой передается фаза монохроматической волны. V=λ/T=ω/R. Фазовая скорость распространения волны является одной и той же для всех волн любой длины (для вакуума), в остальных случаях V=Φ(λ). В случае монохроматической волны энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды: Е=E₀∙sin(ωt-kx), H=H₀∙sin(ωt-kx). Полное поле, создаваемой всеми атомами источника, будет равно сумме волн: . Пусть атомы сначала излучают независимо. Разность фаз, относящуюся к атомам j и j’, принимают произвольного значения. В этом случае интерференция волн S_j и S_j’ отсутствует. На больших расстояниях, значительно превосходящих линейные размеры излучающего объема, свойства излучения изотропны. Это соответствует свойствам некогерентного источника света. Рассмотрим случай полной когерентности волн, излучаемых различными атомами. Результат интерференции N волн существенно зависит от взаимного положения излучающих атомов и того конкретного закона, которому подчиняются фазы. Амплитуды волн, т.е. коэф-ты А_j – одинаковы.

(РИСУНОК).

Пусть расстояние между соседними атомами значительно меньше длины волны. Поэтому суммирование по j можно заменить интегрированием по V источника. Предположим, что все атомы, находящиеся в плоскости, перпендикулярной оси OZ, испускают волны с одинаковыми фазами φ(r’). Эти фазы φ(r’) зависят только от z’, а от х’ и y’ не зависят. При выполнении всех перечисленных условий поле, создаваемое атомами в какой-либо плоскости z’=const подобно полю в случае дифракции монохроматической волны, падающей параллельно от OZ на экран с прямоугольным отверстием. Роль вторичных волн Френеля в дифракционной задаче играют реальные волны, испускаемые реальными атомами, которые расположены в пределах этого отверстия , где,, N – кол-во атомов и в излучающем объеме.

Множители перед интегралом представляют собой амплитуду суммарной волны, испущенной всеми атомами вблизи плоскости z=z’. Интеграл выражает суммирование волн, идущих от всех таких слоев, находящихся в пределах источника.

Зависимость амплитуды от углов определяется обычными дифракционными множителями . Излучение источника сосредоточено в малом телесном угле λ²/(ab). По аналогии с дифракционным явлениями Фраумгофера следует, что если бы фаза φ(z’) сохраняла постоянное значение не в плоскости z’=const, а в другой плоскости, перпендикулярной какому-либо единичному вектору, то излучение источника было бы сконцентрировано в соответствующем дифракционном углу вблизи направления вектора. Т.о. когерентность волн, испускаемых различными атомами обусловливает острую направленность излучения источника в целом. Суммирование волн, приходящих в точку наблюдения от всех поперечных сечений светящегося объема выражено интегралом по z’. Результат этого суммирования определяется соотношением между фазами φ(z’) и k∙z’. Фаза k∙z’ отражает расстояние между точкой наблюдения и положением светящегося атома. Амплитуда поля в точке наблюденияприобретает max, если волны, излучаемые различными сечениями источника приходят в точку наблюдения с одинаковыми фазами. Т.е. φ(z’) и k∙z’ должны быть связаны следующим соотношением: φ(z’)+kz’=φ₀ (1), где φ₀=const.

Условие (1) называется условием пространственной синфазности. При выполнении (1) играл пропорционален всей длине источника L. Тогда можно записать:

.

Т.о. в данном случае амплитуда поля излучаемого источником в целом равна сумме амплитуд волн, исходящих от всех атомов.

Вывод. Если излучение атомов, составляющих макроскопический источник света, когерентно, и выполняется условие (1), то излучение источника в целом сосредоточено в малом дифракционном угле, и амплитуда вблизи пучка в N раз больше амплитуды волны, испускаемой отдельным атомом.

Отмеченная особенность характерна для лазеров. Существует ли способ, с помощью которого можно добиться предполагаемой выше синфазности излучения атомов, находящихся на макроскопическом расстоянии друг от друга? Из условия (1) видно, что фазы φ_j волн S_j должны изменяться в зависимости от положения излучающего атома по такому же закону, по которому изменяется фаза в световой волне. Это означает, что агентом, фазирующим излучения атомов, должна быть световая волна. Для микроскопического описания спектральных свойств светового излучения Эйнштейн ввел представление о вынужденном испускании. Одно из его основных свойств состоит в том, что волны, испускаемые атомами в этом процессе, имеют такую же частоту и такую же фазу, что и действующая на атом волна. Благодаря указанному свойству, фазирование излучения удаленных атомов обеспечивается вынужденным испусканием. Условие (1), необходимое для получения мощного направленного излучения от макроскопического источника, может осуществляться благодаря вынужденному испусканию. Действительно, волны, испускаемые атомами в разных точках пространства, будут синфазно складываться, если разность начальных фаз этих волн компенсируется соответствующей разностью хода вторичных волн S_j.