14.Типы критериальных функций в играх с природой.

В задачах теории статистических решений рассматриваются платежные матрицы (для дискретного случая), либо платежная функция (в непрерывном случае). Значения в платеж. матрице, либо в платеж. функции зависят от 2х факторов: 1. состояние природы, 2. варианты решений ЛПР.

В отличие от теории игр, здесь только одна из сторон рассматривается как сторона с рациональным поведением. Др. сторона рассматривается как природный фактор с элементом неопределенности. В этом случае, условно считается, что мы играем с природой, поэтому относительно второй стороны делаются различные предположения о том, как будут выбираться варианты ее состояния.

Платежная матрица может образовываться в результате решения оптимизационной задачи когда, например, можно получить несколько эквивалентных решений. Для осуществления выбора наилучшего варианта необходимо ввести критериальную функции, отражающую систему предпочтений ЛПР.

Геометрическая интерпретация.

E₁

F₁ F₂

е E2 11	е12
е21	е22
… En	…
en1	еn2

F_i – состояние природы.

Е_i – варианты решений.

Если отложить точки (e_i1,e_i2 ), то они заполнят определенное пространство, ограниченное прямоугольником. РТ – рабочая точка. Внутри этого прямоугольника образовалось 4 квадранта или 4 конуса. Рассмторим свойства точек из этих конусов.

I : все точки хотя бы по одной координате лучше, чем рассматриваемая РТ. Поэтому конус I – конус предпочтения.

III : все точки хотя бы по одной координате заведомо хуже чем РТ.

II и IV : все точки по одной координате могут быть лучше, а по другой хуже. Поэтому эти конусы – конусы неопределенности.

Для определения более менее предпочтительных точек, чем РТ, необходимо рассмотреть различные линии, представляющие линии уравнений или линии эквивалентных решений.

Линия биссектрисы (линия 1) соответствует нейтральной критериальной функции. Линия 2 – пессимистическая критериальная функция. Линия 3 – оптимистическая критериальная функция.

Любая из линий 1, 2, 3 соединяет эквивалентные по предпочтению точки. Точки, расположенные правее и выше любой из этих линий предпочтительнее точек, лежащих левее и ниже.

Предельный случай для пессимистической функции – линии, ограничивающие I-ый квадрант. Для оптимистической – III-ий квадрант.

15.Классические критерии принятия решений в играх с природой.

Классические критерии:

1. Минимаксный критерий

- оценочная функция

Надо дополнить платежную матрицу столбцом из наименьших результатов по строке и выбрать те варианты решений, которые содержат max-ное значение в этом результирующем столбце.

2. Критерий Байеса – Лапласа

В отличие от предыдущего, учитывается не единичный результат для любого варианта, а все возможные следствия. При этом требуется дополнительная информация, связанная с распределением вероятностей реализации внешних состояний.

т.е. в результирующий дополнительный столбец записывается не minпо строке, а мат.ожидание.

3. Критерий Сэвиджа.

Величину а_ijможно понимать какmax-ный дополнительный выигрыш, который достигается если в состоянииF_jвместо вариантаe_ijвыбрать другой, оптимальный для этого состояния. Или как потери (штраф), возникающий в состоянииF_jпри замене оптимального для него варианта на вариант хуже. В исходной матрице критерий Сэвиджа связан с риском. А сточки зрения элементов матрицыa_ijон от риска свободен.

4. Расширенный минимаксный критерий

,

где p– вероятностный вектор дляE_i, аq– вероятностный вектор дляF_j.

Расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов E_i, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состоянийF_j. Поэтому предполагается, чтоF_jраспределены наименее выгодным образом.