5.6. Линейная и экспоненциальная регрессия

Каким будет население Земли в 2010-ом году? Или курс евро в конце этого года? На все подобные вопросы можно ответить, воспользовавшись функциями Excel для линейной или экспоненциальной регрессии. Подробнее с регрессией вы познакомитесь в курсе «Математическая статистика», а пока под регрессией будем понимать статистический метод, позволяющий найти уравнение, которое наилучшим образом описывает множество данных.

Линейная регрессия определяет уравнение прямой, а экспоненциальная регрессия – уравнение экспоненциальной кривой.

Откройте таблицу Население Земли. Предположим, что численность населения в Европе изменяется линейно.

Требуется:

1. найти уравнение прямой, наилучшим образом описывающее это изменение;

2. составить прогноз на 2000 и 2010-ый годы.

Прямая, заданная уравнением y = mx+b , определена, если известны коэффициент m (тангенс угла наклона прямой) и b – у-пересечение (свободный член). При этом у – это зависимая переменная, а х – независимая.

Для нахождения коэффициентов m и b воспользуемся функцией ЛИНЕЙН, которая имеет следующий синтаксис:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_х;конст;статистика)

где:

известные_значения_y – это множество значений зависимой переменной (в нашем случае – численность населения в Европе по годам);

известные_значения_х – независимая переменная (в нашей таблице – годы). Если этот аргумент пропущен, Excel использует последовательность 1, 2, 3, 4 и т.д.

Необязательные аргументы конст и статистика – это логические константы, принимающие значение ИСТИНА или ЛОЖЬ (или 1 и 0). По умолчанию конст равна ИСТИНА, а статистика ЛОЖЬ. Если для конст задана ЛОЖЬ, то предполагается что b = 0 (т.е. прямая проходит через начало координат). Если аргумент имеет значение ИСТИНА, то массив, возвращаемый функцией ЛИНЕЙН, содержит перечень статистик, которые позволяют провести статистический анализ имеющихся данных и полученной регрессии³².

Методика выполнения задания

1. Введите 2000 в ячейку G2 и 2010 – в ячейку H2.

2. В ячейке J1 напечатайте Линейная регрессия, в ячейке J2: m, а в ячейке K2: b.

3. Выделите ячейки J4:K4.

4. Щелкните по инструменту (Вставка функции).

5. В категории Статистические выберите функцию ЛИНЕЙН.

6. По известной вам технологии в поле Изв_знач_у укажите диапазон B4:F4, а в поле Изв_знач_х – диапазон B2:F2.

7. ВНИМАНИЕ! Завершите ввод с помощью клавиш [Ctrl + Shift + Enter].

В результате выполнения этой команды в ячейке J4 появился коэффициент m = 6233,88, а в ячейке K4 – свободный член b = -11553843.

8. Вставьте пустую строку перед 5-ой строкой (с Германией). В ячейке А5 введите Расч.знач.для Европы (лин.).

9. В ячейку А6 введите формулу полученной регрессии для х = 1950: =K4+J4*B2

10. Введя, где это необходимо, абсолютные или смешанные ссылки, и воспользовавшись маркером заполнения, найдите расчетные значения по 2010-ый год включительно.

Задание для самостоятельной работы:

1. Это же задание выполните для Германии и Франции.

2. Исходя из предположения, что изменение численности населения происходит по экспоненциальному закону и, воспользовавшись функцией ЛГРФПРИБЛ (о которой самостоятельно прочитайте в Справке), найдите экспоненциальную регрессию для Африки и Египта.

3. На основе полученной регрессии найдите модельные значения для всех лет, от 1950 до 2010 включительно.

В результате выполнения задания у вас должна получиться таблица, показанная на рис.5.5.

Рис.5.5. Таблица «Население Земли» с прогнозируемой численностью по странам

Если функция ЛИНЕЙН возвращают математическое описание прямой линии, которая аппроксимирует известные данные, то функция ТЕНДЕНЦИЯ позволяет определить прогнозные значения, принадлежащие этой прямой. Иными словами, если нам надо просто спрогнозировать численность населения на какой-то год, лучше воспользоваться этой функцией.

Синтаксис функции:

= ТЕНДЕНЦИЯ(известные_значения_y;известные_значения_х;новое_значение_х;

конст)

Первые два аргумента, а также конст аналогичны таковым в функции ЛИНЕЙН. Аргумент новое_значение, который является необязательным, задает точку, для которой необходимо составить прогноз (в нашем случае это будет 2000-ый год).

А теперь, с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ, составим прогноз численности населения в Азии и в азиатских странах на 2000-ый год.

Методика выполнения задания

1. Выделите ячейку G19.

2. Щелкните по инструменту (Вставка функции).

3. В категории Статистические выберите функцию ТЕНДЕНЦИЯ.

4. По известной вам технологии в поле Изв_знач_у укажите диапазон B19:F19, в поле Изв_знач_х – диапазон B2:F2, а в поле Нов_знач_х – ячейку G2.

5. Нажмите клавишу [Enter]. Прогноз составлен.

6. Введя, где это необходимо, абсолютные или смешанные ссылки, и воспользовавшись маркером заполнения, спрогнозируйте численность населения во всех азиатских странах.

Функция РОСТ аналогична функции ТЕНДЕНЦИЯ, только прогноз составляется исходя из предположения об экспоненциальной зависимости между зависимыми и независимыми переменными.

Синтаксис функции РОСТ:

= РОСТ (известные_значения_y;известные_значения_х;новое_значение_х;конст)

Задание для самостоятельной работы:

1. Воспользовавшись функцией РОСТ, составьте прогноз численности населения на 2010-ый год для Азии, Америки и Австралии.

2. На листе Курс евро (который вы создали при изучении списков) составьте прогноз на конец следующего месяца.

3. В результате измерений были получены следующие данные, связывающие скорость ветра с уровнями загрязнения атмосферы:

Скорость ветра: (м/сек.)	0	1,5	5	10	15
Уровень загрязнения (К сум.)	15,7	8,8	7,7	3	1,5

Исходя из гипотезы о существовании линейной зависимости между скоростью ветра и уровнями загрязнения атмосферы, постройте уравнение линейной регрессии, связывающее эти два показателя. Составьте прогноз уровня загрязнения атмосферы при скорости ветра 7 м/сек. Решите аналогичную задачу, исходя из гипотезы об экспоненциальной зависимости между скоростью ветра и уровнем загрязнения атмосферы.