Лабораторная работа №1 Экспериментальное определение статической характеристики объекта управления

Цель работы: экспериментальное исследование статической характеристики объекта управления, определение ее параметров и определение уравнения линии регрессии.

1. Общие сведения о статических характеристиках оу

Автоматизация процессов металлургического производства осуществляется с помощью разнообразных технических средств, объединенных в системы управления.

Основным элементом системы является объект, в котором протекает управляемый процесс. Объектами управления могут быть как отдельные параметры, так и весь технологический процесс: металлургические агрегаты или цехи, отдельные предприятия или целые отрасли промышленности.

Создание условий, обеспечивающих требуемое направление протекания процесса, на основании анализа поступающей с объекта информации, называется управлением.

Процесс управления состоит из следующих этапов:

- получение информации о задачах и целях управления;

- получение информации о текущем состоянии и поведения ОУ в переходном режиме;

- проведение анализа полученной информации, принятие решения на управление;

- реализация принятого решения, контроль прохождения управляющего воздействия на объект и анализ качества управления.

Для обеспечения эффективного управления очень важно иметь информацию о характерных особенностях ОУ, которую получают при помощи анализа статических и динамических характеристик объекта.

Зависимость выходной (регулируемой) величины Y от входной (регулирующее воздействие) X в установившемся режиме называется статической характеристикой объекта.

Установившимся режимом называется такое состояние ОУ или системы, при котором все переходные процессы закончены.

В качестве входной величины X обычно используется положение регулирующего органа или процент хода перемещения вала ИМ системы регулирования. Статическая характеристика позволяет определить границы управляемости объекта, т.е. в каких пределах Y_min – Y_max может изменяться регулируемый параметр при изменении X от X_min до X_max, где минимальное и максимальное значения входного параметра ограниченны концевыми выключателями ИМ.

Примерный вид статических характеристик представлен на рис.3(а, б, в).

Рис.3 Виды статических характеристик

Статические характеристики могут быть линейными (рис.3,а), нелинейными (рис.3,б) и экстремальные (рис.3,в).

По статической характеристике можно определить один из важнейших параметров объекта управления – коэффициент передачи – К_ОБ.

(1)

Коэффициент передачи К_ОБ равен отношению приращения выходной величины Y к приращению входной X.

Объект считается линейным, если коэффициент передачи К_ОБ является постоянной величиной на всем диапазоне изменения входной величины. Линейную зависимость можно выразить следующим уравнением:

или

где Y₀ – значение параметра Y при начальном значении X = X₀.

Линейными объектами управлять значительно проще, так как несложно прогнозировать выходное значение Y при изменении входного X.

Объект считается нелинейным, если коэффициент передачи является переменной величиной, зависящей от входного параметра К_ОБ = f(X).

Экстремальные статические характеристики можно отнести к существенно нелинейным характеристикам, коэффициент передачи которых меняет знак при переходе статической характеристики через минимум или максимум. Одному значению Y_i соответствует два значения X_i1 и X_i2. В качестве примера нелинейной экстремальной характеристики можно привести характеристику процесса горения топлива в рабочем пространстве методической печи (см. рис.4).

Рис.4 Статическая характеристика процесса горения топлива в рабочем пространстве нагревательной печи

Для математического описания статических свойств ОУ используются данные, полученные экспериментально или расчетным путем. В производственных условиях статическая характеристика ОУ представляет собой экспериментальную статистическую зависимость между двумя параметрами X и Y. Для математического описания статических характеристик используются выражения, определяющие функциональную связь в виде Y = f(X). Здесь X – входной параметр объекта (обычно угол поворота вала ИМ, в % хода), Y – значение выходного параметра объекта (обычно регулируемый параметр).

Функциональная зависимость Y = f(X), определяющая статистическую связь между X и Y, называется теоретической линией регрессии.

Процедура определения вида уравнения линии регрессии называется регрессионным анализом.

Запас функций, которыми можно математически выразить линию регрессии разнообразен, но обычно предпочтение отдается многочленам целых положительных степеней:

где – ордината теоретической линии регрессии; а, b…q – коэффициенты, n – порядок многочлена.

При использовании статистических зависимостей необходимо помнить следующее: как бы точно тот или иной многочлен не воспроизводил искомую зависимость в заданном интервале изменения аргумента, это не дает основания полагать, что вне этого интервала данный многочлен будет соответствовать действительному ходу изменения функции.

Линия регрессии решает вопрос интерполяции, т.е. нахождения значений функции внутри некоторого интервала значений аргумента и не оценивает течение процесса вне рассматриваемого интервала, т.е. не решает задачу экстраполяции.

Для определения уравнения теоретической линии регрессии необходимо, чтобы искомая линия подходила к экспериментальным точкам как можно ближе.

Для расчета теоретической линии регрессии наиболее часто применяется метод наименьших квадратов, суть которого состоит в следующем.

Близость каждой экспериментальной точки линии регрессии измеряется отрезком ординаты:

где Y_i – экспериментальное (измеренное) значение выходной величины при входном значении X_i; – ордината линии регрессии при Х = Х_i.

Обычно требуется, чтобы для всего интервала изменения аргумента выполнялось условие:

(2)

где n – число экспериментальных пар Y_i – X_i.

Статические характеристики промышленных объектов, как правило, нелинейны и для получения уравнения теоретической линии регрессии целесообразно использовать полиномы второй и более высоких степеней.

Этот метод расчета уравнения теоретической линии регрессии не единственный, но наиболее универсальный и наиболее часто применимый в производственных условиях.

В качестве иллюстрации применения метода рассмотрим пример.

Для методической печи стана 300 №3 ОАО «ММК» статическая характеристика процесса сжигания топлива по каналу «расход вентиляторного воздуха» – «температура греющей среды» имеет экстремальный вид и может быть аппроксимирована уравнением полинома второго порядка вида:

(3)

где – установившееся значение величины температуры греющей среды при постоянном расходе топлива и текущем значении расхода вентиляторного воздуха V_В(); a, b, c – искомые коэффициенты теоретической линии регрессии .

Экспериментальные данные значений температуры получены при средней производительности стана и постоянном расходе коксового газа V_Г = 6500 м3/ч в установившемся режиме приведены в таблице 1.

Таблица 1

Экспериментальные данные

Номер опыта	1	2	3	4	5
Расход воздуха, 103 м3/ч	8	15	25	30	45
Температура, 0С	910	1065	1156	1210	1053

Из условия (2), составим систему уравнений:

(4)

где и - экспериментальные значения, N – число экспериментальных пар данных.

Рассчитанные суммы при искомых коэффициентах системы представлены в таблице 2.

Таблица 2

Расчет коэффициентов системы уравнений для определения линии регрессии

N
	·103 м3/ч	0С	·103 м3/ч·0С	·106 (м3/ч)2	·106 (м3/ч)2 ·0С	·109 (м3/ч)3	·1012 (м3/ч)4
1	8	910	7280	64	58240	512	4096
2	15	1065	15975	225	239625	3375	50625
3	25	1156	28900	625	722500	15625	390625
4	30	1210	36300	900	1089000	27000	810000
5	45	1053	47385	2025	2132325	91125	4100625
	123	5394	135840	3839	4241690	137637	5355971

С учетом данных таблицы 2 система уравнений (4) принимает вид:

После решения системы получаем следующие величины коэффициентов: а = -0.59; b = 35.18; c = 665.89.

Таким образом, экспериментальная статическая характеристика процесса сжигания топлива в рабочем пространстве методической печи стана 300 №3 ОАО «ММК» будет определена уравнением:

(5)

На рис.5 представлены: экспериментальные данные из таблицы 1 – изображены точками, линия регрессии (5) – сплошной линией и зависимость изменения коэффициента передачи объекта от расхода воздуха – штриховой линией.

Рис.5 Экспериментальные данные и результаты расчета

В случае если вид статической характеристики значительно отличается от параболического, то для определения уравнения регрессии следует использовать полиномы более высоких порядков.

Система для определения коэффициентов уравнения линии регрессии будет иметь следующий вид:

(6)

По уравнению статической характеристики можно получить уравнение, описывающее изменение коэффициента передачи объекта. Для этого необходимо определить производную уравнения линии регрессии. Например, для приведенного случая получим:

(7)