1.5. Краевые условия для уравнения Фурье
Уравнение Фурье представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и его решение (интегрирование) приводит к появлению в структуре решения произвольных функций от аргументов x,y,z,, т.е. получаем при этом неоднозначное решение о температурном поле в теле.
Чтобы эти произвольные функции определить и получить однозначное решение поставленной задачи, очевидно, что к уравнению Фурье должны быть присоединены дополнительные уравнения, представляющие собой математическое описание известных условий протекания исследуемого процесса теплопроводности. Эти условия называются краевыми, так как они содержат в себе информацию об условиях на «краях» рассматриваемого явления.
Процесс нестационарной теплопроводности развивается во времени и в пространстве и имеет на них края.
Временным краем процесса является момент его начала, соответствующий моменту времени = 0, отсчитываемому от начала нагревания или охлаждения тела. Температурное поле в теле при= 0 полагают известным и представляют в виде зависимости
(1.19)
Формула (1.19) является математической записью начального условия задачи нестационарной теплопроводности. При одинаковой начальной температуре во всех точках тела это условие становится простейшим и принимает вид
(1.19)
В пространственные края включаются все точки на всех ограничивающих тело поверхностях. На пространственных краях полагают известными тепловые условия в течение всего процесса теплопроводности и их математическую запись называют граничными условиями для уравнения Фурье.
Рассматриваемое твердое тело может омываться потоками жидкости (газа), нагреваться (или остывать) излучением, на его поверхностях могут быть размещены нагреватели и т.п. В зависимости от рода известной информации о тепловой обстановке на ограничивающих поверхностях тела различают граничные условия первого (ГУ-I), второго (ГУ-II), третьего (ГУ-III) и четвертого (ГУ-IV) рода.
Если из физических соображений или в результате проведенных измерений известна температура TWна поверхности Г тела, то мы располагаем граничными условиями первого рода в форме
(1.20)
В простейшем случае в течение всего процесса во всех точках на всех поверхностях тела температура одинакова, и тогда вместо (1.20) имеем ГУ-Iв виде
(1.20)
Если известна плотность теплового потока qна поверхности тела, то к уравнению Фурье присоединяют ГУ-IIв форме
(1.21)
С учетом (1.4) формула (1.21) принимает вид
(1.21)
или
(1.21)
Граничные условия третьего рода (ГУ-III)
присоединяют к уравнению Фурье в том
частном случае, когда тело омывается
потоком жидкости (газа), температура
которого
на удалении от тела известна (рис.1.6).
Рис. 1.6