§10. Системы дифференциальных уравнений.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

(1)

Здесь число уравнений равно числу неизвестных функций.

Решением системы (1) называется совокупность n функций , удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Частным решением системы (1) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при x=x₀,

где x₀, - заданные числа.

Семейство решений системы (1), зависящее от n произвольных независимых постоянных :

называют обычно общим решением этой системы.

Решение нормальной системы методом исключения можно свести к решению одного дифференциального уравнения n-го порядка.

Решить следующие дифференциальные уравнения

1. xy^|+1 = e^y

2. 

3. (1+x²) y^||-2xy^| = 0

4. xy^|+1 = e^y

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. y^|-xy² = 2xy

12. xy^|+y = y², y(1)=0,5

13. 

14. z^| = 10^x+z

15. 

16. 

17. 2x²yy^|+y² = 2

18. y^| ctgx+y = 2, y(0)=-1

19. y^| sinx = y lny, y(/2)=1

20. x²y^| - cos2y = 1

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 2ydx – (x+y)dy = 0

10. (y²-3x²)dx – 2xydy = 0

11. (x²+2xy-y²)dx+(y²+2xy-x²)dy = 0

12. 

13. (y²-2xy)dx+x²dy = 0

14. y²+x²y^| = xyy^|

15. (x²+y²)y^| = 2xy

16. xy^|-y=x

17. 

18. 

19. 

20. 

1. xy^|+y = y² ln x

2. (2x+1) y^| = 4x+2y

3. x² dy = (2xy+x²-y)dx

4. 2x (x²+y) dx = dy

5. xy^|+(x+1)y = 3x²e^-x

6. (x+y²)dy = ydx

7. (sin²y+x ctgy) y^| = 1

8. (2x+y) dy = ydx+4 lny dy

9. xy dy = (y²+x) dx

10. y^| x³ siny = xy^|-2y

11. (xy+e^x) dx-x dy = 0

12. y = x (y^|-x cosx)

13. (xy^|-1) lnx = 2y

14. 2e^y-xy^| = 1

15. xy²y^| = x²+y³

16. xy^|-2x² = 4y

17. 2y^|- =

18. (2x²y lny-x) y^| = y

19. 2xy^|-6y = -x²

20. y^|+y cosx = sinx cosx

1. 2xy^| y^|| = y^|2-1

2. y^|2+2yy^|| = 0

3. yy^||+1=y^|2

4. y^||| = 2(y^||-1) ctgx

5. yy^|| = y^|2-y^|3

6. 2yy^|| = y²+y^|2

7. y^||2+y^| = xy^||

8. y^||+y^|2=2e^-y

9. y^||2 = y^|2+1

10. 2y^| (y^||+2) = xy^||2

11. y^|2 = (3y-2y^|) y^||

12. y^|| (2y^|+x) = 1

13. (1-x²) y^||+xy^| = 2

14. yy^||-2yy^| lny = y^|2

15. (y^|+2y) y^|| = y^|2

16. xy^|| = y^|+x

17. yy^||+y = y^|2

18. 2yy^|3+y^|| = 0

19. y^|| (3y+4) – 3y^|2 = 0

20. 2xy^|y^|| = y^|2+1

1. a) y^||+y^|-2y = 0

b) y^||+3y^|-4y = e^-4x+xe^-x

2. a) y^||-2y = 0

b) y^||+2y^|-3y = x²e^x

3. a) y^||-4y^|+5y = 0

b) y^||-4y^|+8y = e^2x+sin2x

4. a) y^||+4y = 0

b) y^||-2y^|+y = 6xe^x

5. a) 4y^||+4y^|+y = 0

b) y^||-y = 4shx

6. a) y^|||-3y^||+3y^|-y = 0

b) y^||+4y^|+3y=chx

7. a) y^|||-3y^|+2y = 0

b) y^||+2y^|+2y = xe^-x

8. a) y^||+4y^|+3y = 0

b) y^||+y^| = 2cosx+e^x

9. a) 2y^||-5y^|+2y = 0

b) y^||+y = 4sinx

10. a) y^||+2y^|+10y = 0

b) y^||-3y^|+2y = x cosx

5.11. a) y^||-2y^|+y = 0

b) y^||+y = 4xe^x

5.12. a) y^|||-6y^||+9y^| = 0

b) y^||+y^|-2y = 3xe^x

13. a) y^||+2y^|+y = 0

b) y^||-3y^|+9y = x cosx

13. a) y^|||-y^||-y^|+y = 0

b) y^||-2y^|-3y = e^4x

13. a) y^|||+8y^||+16y^| = 0

b) y^||-y = 2e^x-x²

13. a) y^||+4y^|+3y = 0

b) y^||-3y^|+2y = sinx

13. a) y^||+y^|-2y = 0

b) y^||-5y^| = 3x²+sin5x

13. a) y^||-3y^|+2y = 0

b) y^||+y = x sinx

13. a) y^||-5y^|+4y = 0

b) y^||-9y = e^3x cosx

13. a) y^||+2y^|-3y = 0

b) y^||+4y^|+4y = xe^2x

1. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||-2y^| = e^x (x²+x-3), y(0)=2, y^|(0)=2

2. a) y^||+3y^|+2y =

b) y^||+4y = sinx, y(0)=1, y^|(0)=1

3. a) y^||+y =

b) 4y^||+16y^|+15y = , y(0)=3, y^|(0)=-5,5

4. a) y^||+4y = 2tgx

b) y^||-4y^|+3y = 2x+1, y(0)=0, y^|(0)=-2

5. a) y^||+2y^|+y = 3e^-x

b) y^||-2y^|-3y = 3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

6. a) y^||+y = 2sec³x

b) y^||-4y^|+3y = 2x+1, y(0)=0, y^|(0)=-2

7. a) x³ (y^||-y) = x²-2

b) y^||-6y^|+9y=5sinx, y(0)=-1, y^|(0)=0

8. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||-2y^|-3y=3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

9. a) y^||-4y^|+5y =

b) y^||+4y = (6x+5) e^-2x, y(0)=0, y^|(0)=

10. a) y^||-2y^|+y =

b) y^||+2y^|-8y = (12x+20) e^2x, y(0)=0, y^|(0)=1

11. a) y^||+y =

b) y^||-2y^|+10y=74sin3x, y(0)=6, y^|(0)=3

12. a) y^||-y =

b) y^||+y = -8sinx-6cosx,

13. a) y^||+9y =

b) y^|||-3y^|-2y = 9e^2x, y(0)=0, y^|(0)=-3, y^||(0)=3

14. a) y^||+4y =

b) y^||-9y = 2x-1, y(0)=1, y^|(0)=1

15. a) y^||+2y^|+y =

b) y^|V+y^|| = 2cosx, y(0)=-2, y^|(0)=1, y^||(0)=y^|||(0)=0

16. a) y^||+y =

b) y^||-2y^|-3y = 3x+2, y(0)=2, y^|(0)=1

17. a) y^||-y =

b) y^||-2y^|+y = 2cosx, y(0)=1, y^|(0)=2

18. a) y^||+y = ctg x

b) y^||-2y^|+10y = 10x²+18x+6, y(0)=1, y^|(0)=3,2

19. a) y^||+4y = tg2x

b) y^||-2y^| = e^x (x²+x-3), y(0)=2, y^|(0)=2

20. a) y^||+4y =

b) y^||-4y^|+13y = e^2x cos3x, y(0)=1, y^|(0)=-1

1. 

7.2.

7.3.

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

18. 

20.