§7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=f(x) (1)

решается последовательным n-кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

2. Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, т.е. уравнение вида

F(x,y^|,y^||)=0, (2)

при помощи подстановки y^|=p(x) (откуда ) преобразуется в уравнение первого порядка

3. Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной, т.е. уравнение вида

F(y,y^|,y^||)=0, (3)

при помощи подстановки y^|=p(y) (откуда ) сводится к уравнению первого порядка

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением n-ого порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+p₂y^(n-2)+…+p_n-1y^|+p_ny=0, (1)

в котором все члены имеют первую степень относительно функции ее производных, а коэффициенты p₁,p₂,…,p_n – постоянные.

Общее решение линейного однородного уравнения (1) имеет вид

y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n, (2)

где y₁,y₂,…y_n – линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а C₁,C₂,…C_n – произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

rⁿ+p₁r^n-1+p₂r^n-2+…+p_n-1r+p_n=0, (3)

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями r, причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3):

1. каждому действительному однократному (т.е. простому) корню r в общем решении соответствует слагаемое вида Ce^rx;

2. каждому действительному корню r кратности k в общем решении соответствует слагаемое вида (C₁+C₂x+…+C_k-1x^k-1)e^rx;

3. каждой паре комплексных сопряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

4. каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности L в общем решении соответствует слагаемое вида

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y^||+py^|+qy=f(x) (1)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

y^||+py^|+qy=0 (2)

наличием в правой части некоторой функции f(x).

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение уравнения (2), а затем найти какое-либо частое решение y^* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

y= + y^*.

Рассмотрим два метода нахождения частного решения.

Метод неопределенных коэффициентов. Если правая часть уравнения (1) имеет вид

(3)

где  и  -действительные числа, а P_n(x) и Q_m(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y^* уравнения (1) ищется в виде

(4)

где M_s(x) и N_s(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения r²+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (2).

Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов M_s(x) и N_s(x), искомое частное решение (4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (1) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.

Укажем вид частного решения y^* для некоторых частных случаев функции (3):

1. если =0, =0 (т.е. =0), то f(x)=P_n(x) и частное решение ищется в виде

y^*=x^k(A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;

2. если =0 (т.е. =), то и частное решение ищется в виде

y^*=x^k (A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой  входит в число корней характеристического уравнения;

3. если =0, n=m=0 (т.е. = ), то и частное решение ищется в виде

где k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения.

В том случае, если правая часть уравнения (1) есть сумма функций вида (3), т.е.

f(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_r(x),

нужно предварительно найти частные решения соответствующие функциям f₁(x),f₂(x),…,f_r(x). Тогда частное решение уравнения (1) запишется в виде

(5)

Метод вариации произвольных постоянных. Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть y₁ и y₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде

y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂, (6)

где функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы уравнений

(7)

Решая систему алгебраических уравнений (7), находим

(8)

где

(9)

- определитель Вронского, составленный для решений y₁ и y₂.

Интегрируя равенства (8), получаем

(10)

откуда, подставляя найденные функции C₁(x) и C₂(x) в соотношение (6), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (1).