- •1.Векторное поле. Векторные линии и их
- •2.1. Вычисление потока
- •2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну
- •2.1.2. Вычисление потока методом проектирования
- •3. Дивергенция векторного поля.
- •3.1. Вычисление дивергенции
- •3.2. Формула Остроградского в векторной форме
- •4. Линейный интеграл в векторном поле.
- •4.1. Определение и вычисление циркуляции
- •4.2. Плотность циркуляции векторного поля
- •5. Ротор векторного поля. Теорема стокса
- •6. Классификация векторных полей
- •6.1. Безвихревое поле
- •6.2. Потенциальное поле
- •6.3. Соленоидальные поля
- •7. Задание для самостоятельной работы
- •Список литературы
2.1. Вычисление потока
2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну
из координатных плоскостей
Пусть поверхность задана уравнением .
Единичный вектор нормали , но, как известно, . Следовательно, .
Знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор именно к выбранной стороне поверхности.
Если поверхность задана уравнением , то .
Знак «+» соответствует выбору верхней стороны поверхности, нормаль к которой образует острый угол с осью и, следовательно, направляющий косинус положителен.
Известно также, что и .
Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость в область , тогда вычисление потока векторного поля через поверхность сводится к вычислению двойного интеграла
по области : . (2.2)
Аналогично, если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость или , то поток вычисляется по формулам ; .
Пример 2.1. Найти поток векторного поля через поверхность конуса и плоскость .
Решение. Обозначим потоки векторного поля: через
боковую поверхность конуса и
через плоскость .
Тогда весь поток П=П1 +П2 =
.
Вычислим . Уравнение :
Проекция вектора на ось отрицательна.
;
.
Из выражения для (2.2.) найдем
.
.
Вычислим . Уравнения поверхности : , , (На поверхности ),
.
Следовательно, .
Пример 2.2. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках , , .
Решение. Уравнение плоскости составим как уравнение
плоскости, проходящей через три точки
. Следовательно, ,
.
.
Пример 2.3. Вычислить поток векторного поля
через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ,ограниченного плоскостями .
Решение. Данная поверхность проектируется взаимно однозначно на плоскость в область , ограниченную окружностями
и .
Находим внешнюю нормаль : .
Т .к. образует с осью тупой угол (рис.2.4), то берем знак минус и, значит, .
Находим скалярное произведение .
Применяя формулу
,
получим Рис.2.4 .
Переходя к полярным координатам , , будем иметь
2.1.2. Вычисление потока методом проектирования
на все три координатные плоскости
Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости:
Тогда поток векторного поля равен
(2.3.)
где знак перед каждым из двойных интегралом берется соответственно таким, каков знак , , на поверхности .
Пример 2.3. Найти поток векторного поля через треугольник, получаемый при пересечении плоскости с координатными плоскостями (выбор указан на рис. 2.5).
Р ешение. Найдем . P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z (выразили из уравнения плоскости)
.
По формуле (2.3) получим
Рис. 2.5
.
При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами.
Пример 2.4. Найти поток векторного поля
через часть сферической поверхности , расположенную в первом октанте.
Решение. Найдем вектор- градиент ,
тогда единичный вектор ; .
По условию задачи поверхность находится в первом октанте, т.е. , , элемент площади в сферических координатах равен . Следовательно, поток через часть сферы вычисляется по формуле .
2.1.3. Вычисление потока методом введения
криволинейных координат на поверхности
В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.
Рассмотрим частные случаи.
Случай 1). Пусть поверхность S является частью кругового цилиндра , ограниченного поверхностями и .
Полагая , будем иметь для данной поверхности ,
, а для элемента площади dS получаем следующее выражение (рис. 2.6.):
.
Тогда поток векторного поля a
через внешнюю сторону поверхности S
вычисляется по формуле
, (2.4)
где Рис. 2.6
Пример 2.5. Вычислить поток радиуса-вектора
через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченного снизу плоскостью , а сверху – плоскостью .
Р ешение. В данном случае (рис. 2.7) имеем
.
Переходя к координатам на цилиндре
, будем иметь ,
Согласно формуле (2.4) поток вектора r
будет равен
Но так как на цилиндре
Рис. 2.7
то
и, следовательно,
Случай 2). Пусть поверхность S является частью сферы , ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями .
Положим для точек данной сферы
г де .
Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 2.7)
.
В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле
, ( 2.5)
Рис. 2.8 где
Пример 2.6. Найти поток вектора
через часть поверхности сферы , расположенную в первом октанте, в область, где .
Решение. В данном случае имеем
, ,
Введем на сфере координаты и так, что
Тогда будет иметь
и, применяя формулу (2.5), получим