
- •1.Векторное поле. Векторные линии и их
- •2.1. Вычисление потока
- •2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну
- •2.1.2. Вычисление потока методом проектирования
- •3. Дивергенция векторного поля.
- •3.1. Вычисление дивергенции
- •3.2. Формула Остроградского в векторной форме
- •4. Линейный интеграл в векторном поле.
- •4.1. Определение и вычисление циркуляции
- •4.2. Плотность циркуляции векторного поля
- •5. Ротор векторного поля. Теорема стокса
- •6. Классификация векторных полей
- •6.1. Безвихревое поле
- •6.2. Потенциальное поле
- •6.3. Соленоидальные поля
- •7. Задание для самостоятельной работы
- •Список литературы
2.1. Вычисление потока
2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну
из координатных плоскостей
Пусть поверхность
задана уравнением
.
Единичный вектор
нормали
,
но, как известно,
.
Следовательно,
.
Знак в правой части
берется так, чтобы получить нормальный
вектор
именно к выбранной стороне поверхности.
Если поверхность
задана уравнением
,
то
.
Знак «+» соответствует
выбору верхней стороны поверхности,
нормаль к которой образует острый угол
с осью
и, следовательно, направляющий косинус
положителен.
Известно также,
что
и
.
Пусть поверхность
взаимно однозначно проектируется на
плоскость
в область
,
тогда вычисление потока векторного
поля через поверхность
сводится к вычислению двойного интеграла
по области
:
.
(2.2)
Аналогично, если
поверхность
взаимно однозначно проектируется на
плоскость
или
,
то поток вычисляется по формулам
;
.
Пример 2.1. Найти
поток векторного поля
через поверхность конуса
и плоскость
.
Решение. Обозначим
потоки векторного поля:
через
боковую
поверхность конуса
и
через плоскость
.
Тогда весь поток П=П1 +П2 =
.
Вычислим
.
Уравнение
:
.
Проекция вектора
на ось
отрицательна.
;
.
Из выражения для (2.2.) найдем
.
.
Вычислим
.
Уравнения поверхности
:
,
,
(На поверхности
),
.
Следовательно,
.
Пример 2.2. Найти
поток векторного поля
через верхнюю сторону треугольника с
вершинами в точках
,
,
.
Решение. Уравнение
плоскости
составим как уравнение
плоскости,
проходящей через три точки
.
Следовательно,
,
.
.
Пример 2.3. Вычислить поток векторного поля
через внешнюю
сторону однополостного гиперболоида
,ограниченного плоскостями
.
Решение. Данная
поверхность проектируется взаимно
однозначно на плоскость
в область
,
ограниченную окружностями
и
.
Находим внешнюю
нормаль
:
.
Т
.к.
образует с осью
тупой угол
(рис.2.4),
то берем знак минус и, значит,
.
Находим скалярное
произведение
.
Применяя формулу
,
получим
Рис.2.4
.
Переходя к полярным
координатам
,
,
будем иметь
2.1.2. Вычисление потока методом проектирования
на все три координатные плоскости
Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости:
Тогда поток
векторного поля
равен
(2.3.)
где знак перед
каждым из двойных интегралом берется
соответственно таким, каков знак
,
,
на поверхности
.
Пример 2.3. Найти
поток векторного поля
через треугольник, получаемый при
пересечении плоскости
с координатными плоскостями (выбор
указан на рис. 2.5).
Р
ешение.
Найдем
.
P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z
(выразили
из уравнения плоскости)
.
По формуле (2.3) получим
Рис. 2.5
.
При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами.
Пример 2.4. Найти поток векторного поля
через часть
сферической поверхности
,
расположенную в первом октанте.
Решение. Найдем
вектор- градиент
,
тогда единичный
вектор
;
.
По условию задачи
поверхность находится в первом октанте,
т.е.
,
,
элемент площади в сферических координатах
равен
.
Следовательно, поток через часть сферы
вычисляется по формуле
.
2.1.3. Вычисление потока методом введения
криволинейных координат на поверхности
В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.
Рассмотрим частные случаи.
Случай 1). Пусть
поверхность S
является частью кругового цилиндра
,
ограниченного поверхностями
и
.
Полагая
,
будем иметь для данной поверхности
,
, а для элемента
площади dS
получаем следующее выражение (рис.
2.6.):
.
Тогда поток векторного поля a
через внешнюю сторону поверхности S
вычисляется по формуле
,
(2.4)
где Рис. 2.6
Пример 2.5. Вычислить поток радиуса-вектора
через боковую
поверхность кругового цилиндра
,
ограниченного снизу плоскостью
,
а сверху – плоскостью
.
Р
ешение.
В данном случае (рис. 2.7) имеем
.
Переходя к координатам на цилиндре
,
будем иметь
,
Согласно формуле (2.4) поток вектора r
будет равен
Но так как на цилиндре
Рис.
2.7
то
и,
следовательно,
Случай 2). Пусть
поверхность S является
частью сферы
,
ограниченной коническими поверхностями,
уравнения которых в сферических
координатах имеют вид
и
полуплоскостями
.
Положим для точек данной сферы
г
де
.
Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 2.7)
.
В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле
, ( 2.5)
Рис. 2.8 где
Пример 2.6. Найти поток вектора
через
часть поверхности сферы
,
расположенную в первом октанте, в
область, где
.
Решение. В данном случае имеем
,
,
Введем
на сфере
координаты
и
так, что
Тогда
будет иметь
и, применяя формулу (2.5), получим