Дворецкий С.И., Муромцев Ю.Л., Погонин В.А., Схиртладзе А.Г. Компьютерное Моделирование технологических процессов и с

Для широкого класса объектов, например, цифровых, импульсных и других дискретных систем, а также непрерывных систем, параметры которых контролируются в дискретные моменты времени, используются модели, записываемые в разностной форме. Разностные уравнения моментов

; (2.39)

; (2.40)

. (2.41)

Аналогично записываются разностные уравнения для системы

; (2.42)

; (2.43)

. (2.44)

В уравнениях (2.39), (2.42) предполагается, что

,

т.е. на шаге дискретизации вектор входа считается постоянным.

выходных переменных при каждом значении переменной . Заметим, что

нированной, авдругих– нелинейнойстохастическойит.д.

а)

.

С помощью данной модели нетрудно определить значения вектора фазовых координат z на рассматриваемом интервале времени. Действительно,

аппарата (см. рис. 2.17), т.е.

.

Для последующих состояний функционирования учитываются потери тепла в окружающую среду, частные модели имеют вид, аналогичный

(2.45).

В результате общая модель для четырех состояний функционирования имеет следующую структуру:

;

где – температуры «переключений» состояний функционирования.

Верификация полученной структуры модели осуществляется по экс-

периментальным данным (рис. 2.18). В частности, решением системы

шести уравнений с неизвестными

и оценкой параметров по формулам

получена модель в виде

в достаточной степени отражающая процесс динамики (см. на рис. 2.18).

На втором этапе идентификации оцениваются параметры и границы зон частных моделей. Оценка границ производится с использованием сиг-

;

которая удовлетворяет требованиям точности как по величине абсолютной погрешности, так и величине разрыва z2 в точках «переключения» зон (рис. 2.19). Оценка параметров предварительно производилась с помощью соотношений (2.41), (2.42), затем они уточнялись минимизацией критерия

k – число стадий.

Полученная модель использована при создании математического обеспечения контроллера, управляющего процессом нагрева жидкости с минимумом затрат энергии. Оптимальное значение функционала в этом

случае на 10 – 15 % ниже, чем при традиционном нагреве.

Вопросы для самопроверки

1. Какие методы применяются при построении моделей систем?

2. В чем заключается аналитический метод построения моделей сис-

тем?

3.В чем заключается различие между статическими и динамическими характеристиками системы?

4.Приведите примеры фундаментальных законов природы, используемых при построении аналитических моделей.

5.Что понимается под сложной системой?

6.Что понимается под переменной состояния функционирования сложной системы?

3.Модели систем

массовогообслуживания

3.1. Общие сведения о моделях систем массового обслуживания

Многие технические, производственные и другие системы при решении задач анализа и синтеза рассматриваются как системы массового обслуживания (СМО). СМО могут быть одноканальные и многоканальные, их функционирование состоит в выполнении поступающего на нее потока требований и заявок. Заявки поступают одна за другой или группами в некоторые обычно случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, которое также может рассматриваться как случайное, после чего соответствующий канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Примерами таких систем являются автоматические системы, автоматические системы управления технологическими процессами (АСУТП), обрабатывающие станки, телекоммуникационные сети, измерительные системы, сервисные системы и т.п.

Любая система массового обслуживания (Queuing System) характеризуется структурой, определяемой составом и функциональными связями. Типовая СМО содержит следующие элементы:

–входящий поток заявок;

–каналы (приборы) обслуживания;

–очередь заявок, ожидающих обслуживания (сценарий обслужива-

ния);

–выходящий поток заявок.

Взависимости от числа каналов и их производительности СМО обладает определенной пропускной способностью, позволяющей с некоторой эффективностью выполнять поток заявок. Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, производительностью каналов, числом каналов, сценарием и эффективностью обслуживания. Показателями эффективности обслуживания

взависимости от условий и целей исследуемой задачи могут быть: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженными, среднее время ожидания в очереди, вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию без ожидания в очереди, среднее число заявок в очереди (длина очереди) и т.д. Каждый из этих показателей, с той или другой стороны, характеризует степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, т.е. ее пропускную способность.

Вузком смысле под пропускной способностью обычно понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Наряду с этим используется термин «относительная пропускная способность», который определяется как среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных. В общем случае пропускная способность (абсолютная и относительная) зависит как от параметров системы, так и от характера потока заявок.

Если заявки поступают регулярно, т.е. через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки имеет строго определенную длительность, то расчет пропускной способности системы не представляет особой трудности. На практике заявки обычно поступают в слу-

чайные моменты времени, длительность обслуживания заявок тоже носит случайный характер. Поэтому процесс работы системы протекает нерегулярно, в потоках заявок образуются местные сгущения и разрежения. Сгущения входного потока могут приводить к отказам в обслуживании и к образованию очередей, а разрежения – к непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. На эти случайности, вызываемые неоднородностью потока заявок, дополнительно накладываются случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных заявок. В результате действия этих фактов процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс.

Для решения задач анализа и синтеза системы, оценки ее пропускной способности необходимо разработать математическую модель случайного процесса, протекающего в системе.

Область применения математических моделей и методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется. Многие задачи, связанные с автоматизацией производства, используют модели теории массового обслуживания. Например, потоки деталей, поступающих на технологические машины для выполнения различных операций, могут рассматриваться как потоки заявок, ритмичность поступления которых нарушается за счет случайных причин. Аналогичные задачи возникают в телекоммуникационных и транспортных системах. Многие задачи, относящиеся к надежности технических устройств, например, расчет среднего времени безотказной работы, определение необходимого количества запасных деталей, среднего времени простоя в связи с ремонтом и т.д., решаются методами, заимствованными из теории массового обслуживания.

3.2. Модели потоков (событий)

на обработку, поток заявок на обслуживание телекоммуникационной сети, поток отказов в автоматической системе и т.п.

В общем случае события, образующие поток, могут быть различными. Если для моделирования работы СМО рассматривается поток, в котором события различаются лишь моментами появления, то его называют потоком однородных событий. Обычно события происходят в случайные моменты времени, и соответствующий поток событий называется случайным. Однако в редких случаях возможны регулярные потоки, когда события следуют друг за другом через строго определенные промежутки времени. В последующем, если не оговорено особо, поток событий будет считаться однородным и случайным.

Как уже отмечалось, поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Регулярный поток сравнительно редко встречается в реальных системах, однако он представляет интерес, как предельный случай для других потоков.

Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок (событий). Важными свойствами этого потока для моделирования СМО являются следующие.

1. Стационарность. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания определенного числа событий на участок (интервал) времени длиной τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени расположен этот участок.

2.Отсутствие последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один участок, не зависит от числа событий, попадающих на другие участки времени.

3.Ординарность. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания двух или более событий на элементарный (малый) временной участок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью по-

падания одного события.

4. Поток событий, обладающий тремя вышеперечисленными свойствами: стационарность, ординарность и отсутствие последействия – называется простейшим, или стационарным пуассоновским. Для простейшего

потока число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона.

Условию стационарности удовлетворяют потоки, вероятностные характеристики которых не зависят от времени. Для стационарного потока характерна постоянная плотность, т.е. среднее число заявок в единицу времени. На практике часто встречаются потоки, которые могут рассматриваться как стационарные на ограниченном интервале времени. Например, поток вызовов на телефонной станции в определенное время суток (рабочее время или ночное) может считаться стационарным, а в течение целых суток поток уже нельзя считать стационарным.

Условие отсутствия последствия означает, что заявки поступают на обслуживание независимо друг от друга. Это условие во многих случаях приемлемо для входных потоков. Однако выходной поток обслуженных заявок обычно имеет последствие, даже если входной поток без последствия.

Условие ординарности потока означает, что заявки на обслуживание приходят поодиночке, а не группами (парами, тройками и т.п.). Если в неординарном потоке заявки поступают одинаковыми по составу группами, то его можно свести к ординарному. Для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток групп заявок (пар, троек и т.д.). Если отдельные заявки случайным образом могут оказаться двойными, тройными и т.д., то приходится рассматривать поток разнородных событий.

Простейший поток заявок играет в теории массового обслуживания особую роль, аналогичную роли нормального закона среди законов распределения случайных величин. Известно, что при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные законы распределения, результирующая величина имеет распределение, близкое к нормальному закону. Аналогично, при суммировании большого числа ординарных стационарных потоков, имеющих последействие, получается поток, близкий к простейшему. Это имеет место при условии, что складываемые потоки должны оказывать на суммарный поток равномерно малое влияние.

Обычно достаточно сложить не менее 4-5 потоков, чтобы получить поток, который можно рассматривать как простейший.

вательность моментов времени наступления событий (для входного потока

ПΣ

Рис. 3.1. Суммирование потоков событий

На рис. 3.1 показано суммирование потоков при .