4.1.2. Кросс-корреляционная функция

При коррелировании рядов динамики часто имеет место взаимное влияние процессов при условии сдвига временных серий друг относительно друга на некоторый временной промежуток (лаг k), т.е. влияние одного явления на другое проявляется с некоторым запаздыванием или опережением. Для определения наличия временного лага необходимо основательно проанализировать ряды динамики и выявить их характерные черты. В некоторых случаях наличие временного лага является очевидным: например, в цепи "хищник - жертва" вспышка популяции хищника происходит через определенный промежуток после вспышки популяции жертвы, после чего происходит снижение численности с тем же временным лагом. Но в большинстве случаев нельэя так просто судить о наличии временного лага и тем более о конкретной его длине.

Взаимная корреляционная функция, или кросс-корреляционная функция (ККФ) определяется для двух стационарных временных рядов как коэффициент корреляции между xt и y_t+k в зависимости от k:

Ряд r_k = r(k) представляет собой таблично заданную корреляционную функцию, которая затухает довольно быстро. Наличие пиков в ККФ указывает на наличие временного лага. Если пики в функции r(k) повторяются через определенное время, то взаимное влияние рядов носит периодический характер. Например, на кросс-спектре рядов NCAL и NROT (рис. 4.2) можно усмотреть их достоверную взаимосвязь при временных сдвигах на 1 и 11 месяцев соответственно.

4.1.3. Кросс-спектральный анализ

Взаимный спектр, или кросс-спектр определяется для пары стационарных временных рядов и характеризует их взаимодействие на различных частотах. Кросс-спектральный анализ является обобщением спектрального анализа для двухмерного случая и сводится к вычислению двух спектральных функций (Гренджер, Хатанака, 1972):

ко-спектра –

и квадратурного спектра –

;

; .

Значения ковариационных функций C_xy и C_yx зависят от выбора оценок весов l_k и их вычисление осуществляется по итерационной процедуре, как и в обычном спектральном анализе.

Взаимный спектр является комплексно-значной функцией и связан с теоретической кросс-корреляционной функцией преобразованием Фурье. Модуль взаимного спектра называют спектром мощности, а аргумент - фазой. Для оценки взаимного спектра применяются методы, аналогичные методам оценки обычного спектра: сглаживание выборочной взаимной периодограммы, например с помощью окна Парзена.

Кросс-спектральный анализ определяет наличие или отсутствие существенных гармонических составляющих в исследуемых рядах динамики и оценку тесноты связи между этими рядами. Кросс-спектр временных рядов NCAL и NROT представлен на рис. 4.3.

Показателем тесноты связи между гармоничными составляющими рядов на соответствующих частотах _j является функция когерентности С(_j), которая определяется как отношение оценки спектра мощности, т.е. модуля взаимного спектра, к произведению оценок индивидуальных спектров обеих рядoв F_x(_j) и F_y(_j) соответственно:

Когерентность интерпретируется как квадрат коэффициента корреляции и ее значения варьируются в интервале от 0 до 1.

Аналогом коэффициента кросс-корреляции при оценке связи между гармоническими составляющими с учетом их временного сдвига является сдвиг фаз гармоник:

При кросс-спектральном анализе полезно строить диаграммы когерентности и сдвига фаз (рис. 4.4 и 4.5), так как анализ закономерностей этих показателей в различных частотных точках дает весьма ценную дополнительную информацию о взаимодействии процессов.