![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Решение.
Как известно, луч света, падающий на кривое зеркало, отражается по известному закону оптики: угол падения равен углу отражения. При этом углы падения и отражения измеряются по отношению к касательной.
Мы
умеем строить касательные к параболе
в любой точке. Этот навык поможет нам
без труда получить нужный результат.
Обратимся к хорошо знакомому нам чертежу.
Треугольник PZD является
равнобедренным, касательная к параболе
– это его биссектриса, поэтому PZS
= SZD,
а LZK
= SZD,
как вертикальный угол. Итак, PZS
= LZK.
Угол падения равен углу отражения.
Задача.
Говорят, что две кривые касаются друг
друга в какой-то точке, если это общая
точка двух кривых и касательные,
проведенные через эту точку к этим
кривым, совпадают. Для каждого
положительного числа t
зададим точку Т с координатами (0,
t2+0,5)
и величину r=
.
Рассмотрим семейство окружностей, центр
каждой из которых расположен в одной
из точек Т, а радиус равен
соответствующему значению r.
Доказать, что пaрабола
является огибающей этого семейства
окружностей (то есть касается каждой
из них).
Р ешение.
Легко зaметить, что центры окружностей лежат на оси ординат. Исходя из этого, попытаемся построить касающуюся параболы окружность, центр которой лежит на оси ординат. Пусть точка М лежит на параболе и имеет абсциссу t. Тогда ее ордината равна t2. Уравнение касательной в этой точке принимает вид: у = 2t х – t2 (коэффициент а в уравнение параболы у = ах2 считаем равным 1).
.
Именно на этой прямой лежат центры окружностей, которые касаются нашей параболы.
Положив х = 0, найдем точку Т пересечения этой прямой с осью ординат: у = t2 + 0,5. Кроме того, ТМ2 = (t – 0)2 + (t2 + 0,5 – t2)2 = t2 + 0,25. Мы доказали, что любая окружность из нашего семейства касается параболы.
1 Более точное определение вершины параболы таково – точка пересечения параболы с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису.