Доказательство.

П рямая QT использовалась нами при построении точки Т, лежащей на параболе у = ах². Если тщательно выполнить чертеж, то можно догадаться о том, что она касается параболы. Но эта догадка будет оставаться только догадкой, пока не будет проведено доказательство.

Подстановкой координат легко убедиться, что уравнение прямой QT имеет вид:

у = 2а х₀ х – ах₀².

Важно отдавать себе отчет в том, что величины х и у в уравнении являются переменными, а х₀ и а – постоянными. Рассмотрим любую, лежащую на одной вертикали, пару точек параболы и прямой QT (они имеют одинаковые абсциссы). Найдем разность их ординат:

ах² – (2а х₀ х – ах₀²) = ах² – 2а х₀ х + ах₀² = а(х – х₀)².

Поскольку квадрат скобки (х – х₀)² равен нулю только при х = х₀, а в остальных случаях положителен, то разность ординат обращается в нуль только в одной точке (точке касания), а остальные точки параболы всегда лежат либо выше точек прямой (при положительном а), либо всегда ниже (при отрицательном а), то есть парабола лежит по одну сторону от прямой QT. Теорема доказана.

Определение. Пусть на плоскости задано бесконечное семейство прямых. Если существует кривая, касающаяся каждой из этих прямых, она называется огибающей семейства.

Следствие из теоремы 3. Огибающей семейства прямых, проходящих через точки ( ; 0) и (0; – ах²) при всевозможных значениях х, является парабола у = ах². Действительно, подставив в уравнение касательной значение х = 0, установим, что касательная к параболе проходит не только через точку ( ; 0), но и через точку (0; – ах²).

Мы получили новый способ, с помощью которого можно получить представление о форме кривой. Если график строится по точкам, то наш способ очерчивает контуры кривой с помощью прямых.

Задание. С помощью огибающих построить на клетчатой бумаге очертания параболы у = 0,25х².

В механике и оптике касательные к кривым играют особую роль. Начнем с механики. Если тело движется по кривой, то постоянно меняет направление. Как узнать, куда направлена скорость в данное мгновение? Ответ таков: она направлена по касательной. Перейдем к оптике. Луч света падает на кривое, а не на плоское зеркало. Куда пойдет отраженный луч? Ответить на этот вопрос помогает следующий закон оптики: угол падения равен углу отражения. Но как измерить угол между прямым лучом и искривленной поверхностью? Ответ снова связан с касательной. Для искривленных зеркал углы падения и отражения измеряются по отношению к касательной. Если в дальнейшем мы столкнемся с движением точки по параболе или с параболическим зеркалом, то теорема 3 поможет нам разобраться с проблемами механики и оптики. Именно по этой причине мы и в дальнейшем будем проявлять особый интерес к касательным.

М

ы рассмотрели семейство прямых касающихся одной и той же параболы. Надо признать, что оно не лишено определенной эстетической притягательности. Но и сами параболы могут образовывать эффектные семейства. Рассмотрим одно из них.

Мы уже достаточно хорошо представляем себе форму параболы. Она похожа на чашу с выпуклым дном. Нижняя точка этой чаши (или верхняя, если чашу перевернуть) называется вершиной параболы¹. Все параболы вида у = ах² при любых значениях а имеют вершину в начале координат. Все они являются результатом сжатия (при а < 1) или растяжения (при а > 1) параболы у=х². При а > 0 ветви параболы смотрят вверх, при а < 1 – вниз, при a = 0 парабола вырождается в прямую у = 0.

Если сместить вершину параболы в точку (х₀; у₀), то она не изменит формы, но будет описываться другим уравнением. Преобразование уравнения параболы состоит в том, у заменяется на у – у₀, а х – на х – х₀. В итоге мы приходим к уравнению

у – у₀ = а(х – х₀)².

Раскроем скобки и явно выразим у через х. Как результат будет получено уравнение

у = ах² – 2ах₀х + ах₀² + у₀.

Для краткости принято обозначать коэффициент при х через b, а свободный член – через с, то есть

b = – 2ах₀ ; с = ах₀² + у₀.

Итоговое уравнение параболы со сдвинутой из начала координат вершиной таково:

у = ах² + bх + c.

Мы видим, что в этом случае парабола является графиком квадратного трехчлена, теснейшим образом связанного с квадратными уравнениями.

Выразим х₀ и у₀ через а, b и с:

b = – 2ах₀ с = ах₀² + у₀

Теперь у нас есть повод и возможность вспомнить о том, как решаются квадратные уравнения. Это тем более уместно, что многие задачи, решаемые методом координат, приводят именно к квадратным уравнениям.

Перепишем наше исходное уравнение у – у₀ = а(х – х₀)², используя полученные выше формулы

.

Положив у = 0, получим:

.

Откуда вытекает известная формула для решения квадратного уравнения:

.

Эта формула показывает, что квадратное уравнение может иметь два решения (при дискриминанте b² – 4ac > 0), одно решение (при дискриминанте равном 0), нe иметь решений (при дискриминанте меньше 0). C геометрической точки зрения эти cлучаи соответствуют различным положениям параболы относительно оси абсцисс.

Парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках – два решения.	Парабола касается оси абсцисс в единственной точке – одно решение.	Парабола не пересекается с осью абсцисс – нет решений.

Задача. Докажите, что если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отраженные от параболы, будут направлены параллельно друг другу и перпендикулярно директрисе. (Именно по этой причине прожектора имеют параболические отражатели).