8. Теорема об изменении кинетической энергии мех. Сис.

Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил. Для этого разделим силы .действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_, Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i перемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1) до v_i(2) (рис.).

Тогда по уравнению mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) – (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J _, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E - работа силы Р_i^E и A_i^J _­- работа силы P_i^J на перемещении М_i(1) M_i(2). Просумируем левые и правые части составленных n равенства: (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ – (∑(m_i­­υ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,

т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

υ_i(2)

M_i(2)

Mi

υ_i(1) P_i^J

P_i^E

M_i(1)

9. Определение динамических реакции при вращении тв. Тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим тв. тело под действием приложенных к нему внешних сил Р₁^Е, Р₂^Е,…, Р_n^E. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела М_ксилу инерции Ф_к. При неравномерном вращении эта сила состоит из Ф_к^ω– вращ. и Ф_к^ε– центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:

P^E + R_A + R_B + Ф^A = 0,

M_A^E + M_A^RA + M_A^RB + M_A^ФA = 0

Или спроецируем на оси координат: получим новую систему линейных уравнений:

∑ x_к^E + x_A + x_B + ∑ P_кx = 0

∑ y_к^E + y_A + y_B + ∑ Ф_кy = 0

∑ z_к^E + z_A = 0

∑ M_кx^E – y_Bh + ∑ M^Ф_кx = 0

∑ M_кy^E + x_Bh + ∑ M^Ф_кy = 0

∑ M_кz^E + ∑ M_к^Ф = 0

10. Вывод общего уравнения динамики.

Если система получит возможное помещение при котором каждая точка имеет возможное перемещение δS_к, то сумма работ этих сил на перемещении δS_к должна быть равна 0.

Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0,

(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0

Положим, что связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда ∑ работ рекции связи = 0, тогда

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) =0