Решение типового примера
Пример 3(а). Дан
треугольник с вершинами
и
.
Найти его внутренний угол при вершине
.
А
С
В
Для нахождения внутреннего угла при вершине воспользуемся формулой:
.
;
.
;
;
.
Следовательно,
.
Тогда
.
Пример 3(б).
Доказать,
что точки
,
и
лежат на одной прямой.
А В С
Найдём координаты
векторов
и
:
;
.
Так как векторы и имеют общую точку , то достаточно доказать, что векторы и коллинеарны.
Для доказательства воспользуемся условием коллинеарности векторов. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Координаты векторов и пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
коллинеарны.
Отсюда следует, что точки
лежат на одной прямой.
Пример 3(в).
Доказать,
что точки
,
,
и
являются вершинами трапеции.
А В
D
С
Для того чтобы
четырёхугольник
являлся трапецией, надо, чтобы у него
две противолежащие стороны были
параллельны, а две другие противолежащие
стороны нет. Кроме того, вершины
и
должны быть расположены так, чтобы
векторы
и
имели противоположное направление.
Для доказательства воспользуемся условием коллинеарности векторов. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Найдём координаты векторов, совпадающих со сторонами четырёхугольника:
;
;
;
.
Координаты векторов и пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
коллинеарны.
Отсюда следует, что противолежащие
стороны
и
четырёхугольника
параллельны.
Так как коэффициент
пропорциональности векторов
и
равен –
,
то векторы
и
имеют противоположное направление.
Координаты векторов
и
не пропорциональны, так как
.
Тогда векторы
и
не коллинеарны. Отсюда следует, что
противолежащие стороны
и
четырёхугольника
не параллельны.
Следовательно, четырёхугольник является трапецией.
Пример 3(г).
Доказать,
что диагонали четырёхугольника с
вершинами
и
взаимно перпендикулярны.
В
A
C
D
Диагоналям в
четырёхугольнике
соответствуют векторы
и
.
Векторы
и
будут перпендикулярны, если скалярное
произведение этих векторов будет
равняться нулю. То есть векторы
и
будут перпендикулярны, если будет
выполняться равенство
.
Для доказательства найдём координаты векторов и :
;
.
Найдём скалярное
произведение векторов
и
:
.
Получили, что
.
Из чего следует, что диагонали
четырёхугольника
,
соответствующие векторам
и
перпендикулярны.
Задача 4.
Векторы и взаимно перпендикулярны, причём
и
.
Определить
и
.Даны:
и
.
Вычислить
.Векторы и образуют угол
,
причём
и
.
Определить
.Даны:
и
.
Вычислить
.
Векторы и образуют угол
,
причём
и
.
Определить
.Вычислить: 1)
,
если
и
— единичные векторы с углом между ними
.
2)
,
если
и угол между векторами
и
равен
.Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор
образует с ними углы, равные
.
Зная, что
,
вычислить: 1)
;
2)
.Векторы и образуют угол . Зная, что
и
,
найти длину вектора
.Найти угол между векторами
и
,
где
и
— единичные векторы, образующие угол
.Найти проекцию вектора
на ось, имеющую направление вектора
,
если
и угол между векторами
и
равен
.Векторы
единичной длины образуют попарно углы
.
Найти угол
между векторами
и
.Векторы и взаимно перпендикулярны. Вычислить
,
если
.Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что
,
вычислить
.Раскрыть скобки в выражении
.Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить
.Даны векторы
и
,
где
и
образуют
угол
,
.
Найти
.Дан вектор , где и — единичные векторы с углом между ними. Найти угол между векторами и .
Даны векторы
и
,
где
и
— единичные
векторы с углом
между ними. Найти
.Раскрыть скобки в выражении
.
Векторы единичной длины образуют попарно углы . Найти угол между векторами и
.Дан вектор , где и — единичные векторы с углом между ними. Найти угол между векторами и .
Даны векторы и , где и —
единичные векторы с углом между ними. Найти .
Раскрыть скобки в выражении
.
Даны векторы и угол между которыми . Найти длину вектора
,
если
.Даны векторы
и
,
причём
и
,
угол между векторами
и
равен
.
Определить угол между медианой
треугольника АОВ и стороной
.Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам:
и
.
Вычислить длину медианы АМ треугольника
АВС.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
и
.Раскрыть скобки в выражении
.
Дано:
.
Вычислить
.Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: и . Вычислить длину высоты АD треугольника АВС.