Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгоритми_МетодиОбчислень_Р2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2019

Размер:

2.07 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

2 Алгоритмічні стратегії

2.1 Принцип «розділяй і володарюй»

Багато алгоритмів за своєю природою рекурсивні, розв’язуючи деяку задачу вони визивають самих себе для розв’язку її підзадач. Ідея методу «розділюй і володарюй» як раз і полягає у цьому. Спочатку задача розбивається на декілька задач меншого розміру. Потім ці задачі розв’язуються за допомогою рекурсивного виклику – або безпосередньо, якщо розмір задачі невеликий. Нарешті, розв’язки часткових задач комбінуються і отримують розв’язок задачі у цілому.

Як приклад, розглянемо задачу знаходження найбільшого (найменшого) елементу множини , яка вміщує елементів. Очевидний шлях пошуку найбільшого елементу полягає у тому, щоб шукати його як результат порівняння певного елементу з іншими і запам’ятовувати кожний раз більший із них. Наступна процедура Max находить найбільший елемент множини , зробивши порівнянь:

Max

1 n=length(S)

2 Вибираємо довільний елемент із множини S

3 max=S(1)

4 for i=2 to n

5 if x>max

6 then max=x

7 end if

8 end for

Аналогічно можна знайти найменший елемент із елементів, що залишитись, здійснивши порівнянь.

Таким чином, для знаходження найбільшого і найменшого елементів із множини необхідно виконати порівнянь.

Застосуємо до задачі знаходження найбільшого і найменшого елементів із множини принцип «розділюй і володарюй». Для цього множину розіб’ємо на дві підмножини і . Для простоти допустимо, що у кожній із підмножин є по елементи. Тоді описаний вище алгоритм знайшов би найменший і найбільший елементи у кожній із підмножин і . Найбільший і найменший елемент множини можна визначити провівши ще два порівняння найбільших і найменших елементів із множин і .

Отже, матимемо наступну процедуру:

procedure Max_Min(S):

n=length(S)
if n=2 then

нехай S={a,b}

return (Max(a,b), Min(a,b))

else

6. розбити на дві рівні підмножини і

виклик процедури MaxMin

5. (max1,min1)= MaxMin( )

6. (max2,min2)= MaxMin( )

7. return (Max(max1,max2), Min(min1,min2))

8 end if

Аналізуючи процедуру Max_Min можна зробити висновок, що порівняння елементів множити відбувається тільки на кроці 3, де порівнюються два елементи множини , із яких вона складається, і на кроці 7, де порівнюються max1,max2 та min1,min2. Очевидно, що (одне порівняння). Якщо , то - загальне число порівнянь отриманих у двох викликах процедури MaxMin (рядки 5 і 6), які працюють на множинах розміром , і ще два порівняння у рядку 7. Таким чином,

(2.1)

Знайдемо розв’язок рекурентного співвідношення (2.1) Нехай у (2.1) приймає довільне значення. Тоді

, .

Допустимо, що . Тоді

…………………….. .

Шляхом послідовної підстановки знаходимо, що

…………………………………………………………………………………….

Останній вираз подамо у такому вигляді:

Узагальнюючи отриманий результат для довільного , де - множина натуральних чисел, будемо мати

Допустимо, що . Тоді . Оскільки , то при

Перший доданок суми, яка є правою частиною останнього співвідношення - , а другий доданок – це геометрична прогресія, в якої перший член ; знаменник прогресії - , а кількість її членів дорівнює . Тому

Враховуючи значення , маємо

Таким чином, розв’язком рекурентних співвідношень (2.1) є функція

за умови, що , де - ціле додатне число.

Рисунок 2.1 дає наочне уявлення про те, що алгоритм, який побудований за стратегією «розділяй і володарюй», потребує меншого числа кроків ніж алгоритм, який здійснює пошук максимального і мінімального елементів шляхом перебору елементів масиву.

Ще одним прикладом застосування стратегії «володарюй і розділяй» може служити алгоритм сортування злиттям. Суть алгоритму у тому, що початкова множина елементів розбивається на підмножини , , …, . Кожна із множин , , у принципі, може вміщувати лише один елемент. У такому разі кожен із списків уже відсортований. Тепер задача полягає у тому, щоб певним чином списки , , …, злити.

Рисунок 2.1 – Порівняння ефективності двох алгоритмів

Нижче наведена процедура MergeSort, яка виконує сортування елементів множини злиттям.

1 procedure MergeSort

list список елементів, що підлягає сортуванню

first номер першого елементу у списку, що підлягає сортуванню

last номер останнього елементу у списку, що підлягає сортуванню

2 while first<last then

3 middle=(first+last)/2

4 MergeSort(list,first,middle)

5 MergeSort(list,middle+1,last)

6 MergeLists(list,first,middle,middle+1,last)

7 end while

Наведений алгоритм розбиває список на дві половини до тих пір, поки номер першого елемента куска менше останнього у ньому номера. Якщо у черговому куску указана умова не виконується, то це означає, що отримали список із одного елементу, який уже відсортований. Після двох викликів процедури MergeSort викликається процедура MergeLists, яка зливає два куски, у результаті отримаємо злитий список із двох елементів. На наступному кроці два списки, що вміщують по два елементи, зливаються в один довжиною чотири. Цей процес продовжується до тих пір, поки дві відсортовані половини загального списку зіллються в один. Таким чином, процедура MergeSort розбиває список на половину при русі по рекурсії вниз, а потім на зворотному шляху зливає відсортовані половинки списку.

Операцію по злиття списків в один виконує процедура MergeLists, яку розглянемо детальніше.

Нехай і два списки, які вже відсортовані у порядку зростання елементів. При злитті двох списків в один найменший елемент у загальному списку може бути першим або у списку або – у , а найбільший елемент в об’єднаному списку повинен бути останнім в одному із списків чи . Створимо новий список , який буде вміщувати елементи як списку , так і елементи - . Створювати список почнемо з того, що в нього перенесемо менший із двох елементів і . Якщо , наступним елементом може бути або . І перший і другий варіанти можливі оскільки нам невідомі співвідношення між величинами списку і списку . Для спрощення процесу злиття слід обзавестись двома індикаторами списків та і збільшувати той індикатор того списку, черговий елемент у якому виявиться меншим. Процедура MergeLists продовжує порівнювати елементи ще не переглянутих частин списків і та переміщувати менший із них у список . У певний момент елементи в одному із списків закінчаться. В другому списку залишаться елементи, які більші останнього елементу у списку .На закінчення, необхідно перемістити елементи, що залишились у кінець списку .

procedure MergeLists

list список елементів, що підлягає упорядкуванню

start1 початок списку

end1 кінець списку

start2 початок списку

end2 кінець списку

finalStart=start1

finalEnd=end2

indexP=1

while (start1<=end1) and (start2<=end2)

if list(start1)<list(start2)

result(indexP)=list(start1)

start1=start1+1

else

result(indexP)=list(start2)

start2=start2+1

end if

indexP= indexP=1

end while

перенос частини списку, що залишилась

if (start1<=end1) then

for i=start1 to end1

result(indexP)=list(i)

indexP=indexP+1

else

for i=start2 to end2

result(indexP)=list(i)

indexP=indexP+1

end for

end if

повернення результату у список

indexP=1

for i=finalStart1 to finalEnd

list(i)=result(indexP)

indexP=indexP+1

end for

Проаналізуємо отриманий алгоритм. Почнемо з процедури MergeLists. Допустимо, що всі елементи списку менші всіх елементів списку . Оскільки , (допускається, що кількість елементів у обох списках однакова), то процедура MergeLists розмістить всі елементи списку у список . Це означає, що процедура MergeLists виконає ( - кількість елементів списку ) операцій порівняння. У випадку протилежної ситуації, коли , процедура MergeLists перемістить всі елементи із списку у список , виконавши при цьому операцій порівняння.

Приклад 2.1. Розглянемо два списки і . Необхідно списки і злити в один список .

У випадку, що розглядається, відбувається порівняння елемента з елементом . Оскільки , то у список переміщається елемент . Знову порівнюємо елемент з елементом . Має місце співвідношення і елемент переміщаємо у список і т. д. Бачимо, для переміщення всіх елементів списку у список необхідно виконати чотири порівняння ( ).

Розглянемо тепер випадок, коли , але всі елементи списку менші ніж другий елемент списку . ( ) У такій ситуації процедура MergeLists перенесе елемент (1) у список , а потім відбудуться порівняння всіх елементів списку з другим елементом списку . Тому повне число порівнянь буде .

Приклад 2.2. Допустимо, що програмою sort сформовано два масиви і . Маємо випадок , коли , але всі елементи списку менші за ( ). Порівнюємо і . Оскільки , то елемент переміщаємо у список . Потім порівнюємо і . Маємо . Елемент переміщуємо у список і т. д. Неважко підрахувати, що після п’яти порівнянь всі елементи із списку будуть перемішені у список .

Тепер допустимо, що знаходиться між і , а знаходиться між і і т. д. У такому випадку перенос елементів із списків і у список відбувається почергово: спочатку із , потім із , потім знову із і знову із і т. д. до тих пір поки не вичерпаються всі елементи за винятком останнього у списку . Цей випадок є найгіршим: загальне число порівнянь буде - .

Проаналізуємо тепер процедуру MergeSort, яка викликається до тих пір поки first<last. Виконання останньої умови приводить до розбиття загального списку на дві половини, тобто кожний із списків і буде мати по елементи. Це означає, що у найгіршому випадку процедура MergeLists здійснить порівнянь. На виконання операцій сортування у списках і процедура MergeSort затратить операцій. Це означає, що у найгіршому випадку загальне число операцій (складність алгоритму) буде таким: