2.1.Линейная регрессионная модель
Пример использования процедур линейной регрессии line(), slope() и intercept() представлен на рисунке 7.
Аргументами функций указываются векторы узловых точек и значений функции (зависимого параметра) в этих узловых точках. Процедура line() возвращает вектор параметров регрессии: свободный член b и линейный коэффициент a. Линейный коэффициент можно вычислить также с помощью slope(), а свободный член — с помощью intercept().
Задание 4. Известны значения функции f(x) в некоторых точках, представленных в таблице1. Необходимо найти уравнение регрессии в виде линейной функции у = ax + b.
Таблица 1. Исходные данные для задания 4
X |
1 |
1,71 |
2,42 |
3,13 |
3,84 |
4,55 |
5,26 |
5,97 |
Y |
12,49 |
4,76 |
2,55 |
1,60 |
1,11 |
0,82 |
0,63 |
0,50 |
Выполнение.
Ввести исходные данные задачи в виде массивов Мх и My.
Отсортировать данные, если они даны не в порядке возрастания.
Найти коэффициенты линейной функции, используя встроенную функцию line().
Найти коэффициенты линейной функции с помощью функций slope (х, у) и intercept (х, у). Функция slope (х, у) позволяет найти угловой коэффициент линии регрессии (наклон линии регрессии a), a intercept (х, у) — смещение по оси ординат линии регрессии (свободный параметр b).
Найти окончательную формулу регрессионной функции и построить график линейной регрессии: f(t):= at +b.
Решение задачи показано на рисунке 7.
2.2. Полиномиальная регрессия
Задание 5. По данным таблицы 1 построить полиномиальную регрессию с использованием функций regress() и interp(), как показано на рисунке 8.
Рисунок 7. Линейная регрессия
В документе определена функция двух аргументов F(t,m). Первый t — точка, в которой вычисляется регрессионное значение, а второй m — степень регрессионного полинома. Для сравнения кроме статистических данных (отдельные точки на графике) построено три полинома разной степени: первой, третьей и седьмой.
Рисунок 8. Полиномиальная регрессия
Задания для самостоятельного выполнения Задание 1
Построить по имеющимся данным (таблица 2):
интерполяционный полином Лагранжа;
линейную интерполяцию;
cspline-интерполяцию;
pspline-интерполяцию;
lspline-интерполяцию.
Найти значение функции в точке х.
Построить графическую иллюстрацию интерполирования.
Таблица 2. Варианты для самостоятельного задания 1
1. |
|
2. |
|
3. |
|
||||
x |
Y |
x |
y |
х |
y |
||||
0,43 |
1,63597 |
0,43 |
1,63597 |
0,43 |
1,63597 |
||||
0,48 |
1,73234 |
0,48 |
1,73234 |
0,48 |
1,73234 |
||||
0,55 |
1,87686 |
0,55 |
1,87686 |
0,55 |
1,87686 |
||||
0,62 |
2,03045 |
0,62 |
2,03045 |
0,62 |
2,03045 |
||||
0,70 |
2,22846 |
0,70 |
2,22846 |
0,70 |
2,22846 |
||||
0,75 |
2,35973 |
0,75 |
2,35973 |
0,75 |
2,35973 |
||||
в точке x = 0,702 |
в точке x = 0,512 |
в точке x = 0,645 |
|||||||
4. |
|
5. |
|
6. |
|
||||
x |
y |
х |
y |
х |
y |
||||
0,43 |
1,63597 |
0,02 |
1,02316 |
0,35 |
2,73951 |
||||
0,48 |
1,73234 |
0,08 |
1,09590 |
0,41 |
2,30080 |
||||
0,55 |
1,87686 |
0,12 |
1,14725 |
0,47 |
1,96864 |
||||
0,62 |
2,03045 |
0,17 |
1,21483 |
0,51 |
1,78776 |
||||
0,70 |
2,22846 |
0,23 |
1,30120 |
0,56 |
1,59502 |
||||
0,75 |
2,35973 |
0,30 |
1,40976 |
0,64 |
1,34310 |
||||
в точке x = 0,608 |
в точке x = 0,203 |
в точке x = 0,482 |
|||||||
7. |
|
8. |
|
9. |
|
||||
x |
y |
х |
y |
х |
y |
||||
0,02 |
1,02316 |
0,35 |
2,73951 |
0,41 |
2,57418 |
||||
0,08 |
1,09590 |
0,41 |
2,30080 |
0,46 |
2,32513 |
||||
0,12 |
1,14725 |
0,47 |
1,96864 |
0,52 |
2,09336 |
||||
0,17 |
1,21483 |
0,51 |
1,78776 |
0,60 |
1,86203 |
||||
0,23 |
1,30120 |
0,56 |
1,59502 |
0,65 |
1,74926 |
||||
0,30 |
1,40976 |
0,64 |
1,34310 |
0,72 |
1,62098 |
||||
в точке x = 0,102 |
в точке x = 0,436 |
в точке x = 0,616 |
|||||||
10. |
|
11. |
|
12. |
|
||||
x |
y |
х |
y |
х |
y |
||||
0,02 |
1,02316 |
0,35 |
2,73951 |
0,41 |
2,57418 |
||||
0,08 |
1,09590 |
0,41 |
2,30080 |
0,46 |
2,32513 |
||||
0,12 |
1,14725 |
0,47 |
1,96864 |
0,52 |
2,09336 |
||||
0,17 |
1,21483 |
0,51 |
1,78776 |
0,60 |
1,86203 |
||||
0,23 |
1,30120 |
0,56 |
1,59502 |
0,65 |
1,74926 |
||||
0,30 |
1,40976 |
0,64 |
1,34310 |
0,72 |
1,62098 |
||||
в точке x = 0,114 |
в точке x = 0,552 |
в точке x = 0,487 |
|||||||
13. |
|
14. |
|
15. |
|
||||
x |
y |
х |
y |
x |
y |
||||
0,02 |
1,02316 |
0,35 |
2,73951 |
0,41 |
2,57418 |
||||
0,08 |
1,09590 |
0,41 |
2,30080 |
0,46 |
2,32513 |
||||
0,12 |
1,14725 |
0,47 |
1,96864 |
0,52 |
2,09336 |
||||
0,17 |
1,21483 |
0,51 |
1,78776 |
0,60 |
1,86203 |
||||
0,23 |
1,30120 |
0,56 |
1,59502 |
0,65 |
1,74926 |
||||
0,30 |
1,40976 |
0,64 |
1,34310 |
0,72 |
1,62098 |
||||
в точке x = 0,285 |
в точке x = 0,526 |
в точке x = 0,665 |
|||||||