1.3.Интерполяционный полином Лагранжа

Численные данные можно интерполировать одной общей функциональной зависимостью полиномиального вида. Существует несколько способов по­строения полинома. Рассмотрим способ построения интерполяционного полинома по методу Лагранжа.

Предположим, что в узловых точках { x_i } функция должна принимать значе­ния { y_j }, i = 0,1,2,..., N. Интерполяционный полином строится так, чтобы в узловых точках значения, вычисленные на его основе, совпадали с таблич­ными значениями функции { y_i }. Степень такого полино­ма (для однозначного его определения) должна быть на единицу меньше числа узловых точек.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

,

где базисные функции

.

Полученный полином имеет степень N (число узловых точек равно при этом N + 1) и в узловых точках принимает правильные значения.

Задание 3. Для исходных данных задания 2 построить интерполяционный полином Лагранжа, как показано на рисунках 5 и 6.

Функция L имеет три аргумента: векторы узловых точек и значений функции, а также значение точки, в которой вычисляется интерполяционное значение. N − степень интерполяционного полинома; S − переменная, в которую записывается интерполяционная сумма. Основу процедуры составляют два вложенных оператора цикла. Переменная i определяет номер слагаемого в интерполяционной сумме (фактически, это номер узла и базисной функции), переменная k является переменной произведения. Во внутреннем цикле также инициализи­руется локальная переменная s с начальным значением 1. В эту переменную записывается значение базисной функции. Такие базисные функции, будучи умноженными на значение функции в соответствующем узле, суммируются (внешний цикл), в результате чего и получаем интерполяционный полином.

Рисунок 5. Вычисление полинома Лагранжа

В нижней части документа на Рисунке 5 генерируется последовательность уз­ловых точек и значений функции в этих точках. Далее значения соответст­вующих векторов отображаются вместе со значениями интерполяционного полинома в узловых точках

На Рисунке 6 пока­заны точки, по которым выполнялась интерполяция, а также отображен ин­терполяционный полином.

Рисунок 6. Интерполяция Лагранжа

Хотя точки на графике разбросаны не очень сильно, на границах интерполя­ционный полином дает существенные осцилляции. Именно это заставляет искать другие методы интерполяции. С другой стороны, рассмотренная сплайн-интерполяция хотя и решает проблему с осцилляциями на границе, имеет тот недостаток, что интерполяционная функция является кусочно-гладкой. Если в дальнейшем придется вычислять производные от интерполя­ционной зависимости, то, начиная с некоторого порядка производных, по­следние окажутся разрывными.

2. Регрессионный анализ

Методы регрессионного анализа позволяют строить модели, описывающие взаимосвязь между наборами данных, которая описывается неко­торой функцией, в которую кроме аргумента входят неизвестные параметры, определяемые на основе наборов данных. От интерполяции такая задача принципиально отличается тем, что число неизвестных параметров сущест­венно меньше узловых точек функциональной зависимости, по­этому при фиксированном типе кривой провести её так, чтобы она проходила через все узловые точки, в общем случае не удастся.

Обычно параметры определяются на основе метода наи­меньших квадратов, главная идея которого состоит в том, что сумма квадратов разностей табличных значений функции и их оценок на основе регрессион­ной функции в узловых точках должна быть минимальной.

Наиболее простая регрессионная модель — линейная. В этом случае зависи­мость задаётся соотношением вида у = ax + b, где через х обозначен незави­симый параметр, через у — зависимый, а параметры а и b нужно найти исходя из экспериментальных данных для значений зависимого параметра {у_т} в узловых точках {х_т}, m = 1,2,...,n .

Определение этих параметров по мето­ду наименьших квадратов подразумевает минимизацию выражения:

,

что даёт:

и ,

где черта сверху обозначает усреднение. Эти же выражения можно записать несколько иначе. Поскольку выборочная ковариация случайных величин х и у равна:

,

а выборочная дисперсия величины х может быть запи­сана как разность среднего квадрата случайной величины и квадрата ее сред­него, т. е.

,

то

.

В среде Mathcad для построения регрессионных моделей имеется целый набор встроенных функций.