3.3.3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида:

и

Оба интеграла приводятся к табличным путем выделения полного квадрата. Поясним сказанное на примерах.

Пример 15.

Пример 16.

Интеграл свелся к табличному №16.

В интегралах вида и ,

в числителе выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и представляют в виде суммы двух интегралов сводимых к табличным.

Пример 17. Вычислить интеграл

Производная знаменателя равна 2х + 4, отсюда

(использован табличный интеграл 15)

Пример 18. Найти неопределенный интеграл

Производная квадратного трехчлена (х² + 6х + 10)' = 2х + 6. Выделяя ее, получим:

второй интеграл табличный (см. таблицу №17), в первом интеграле обозначим t = x² + 6x +10, dt = (2x + 6)dx, тогда он примет вид

Окончательно получим

Вывод. В настоящей лекции были рассмотрены два основных метода нахождения первообразной – это метод замены переменной интегрирования и интегрирования по частям. Если студенты по виду подынтегрального выражения сумеют определить, какой из двух методов следует применить, то цель настоящей лекции можно считать достигнутой.

Лекция 3.4. Рациональные функции, их разложение на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций и простейших дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей

3.4.1. Интегрирование рациональных функций

Интеграл от элементарной функции не всегда сам оказывается элементарной функцией. Важным классом элементарных функций, интегрирование которых снова приводит к элементарным функциям, является класс рациональных функций, т.е. дробей вида где и – целые многочлены соответственно степени m и n.

В частности при к этому классу относятся многочлены. При интегрировании рациональной дроби возможны два случая.

1. Если m ≥ n (такая дробь называется неправильной) выделяют целую часть, разделив на . В частном получим некоторый многочлен N(x) и в остатке многочлен R(x) степени не выше (n – 1). Следовательно

Интегрирование многочлена N(x) не доставит особых трудностей, весь вопрос сводится к умению интегрирования рациональной функции, когда m < n (такую дробь называют правильной) – это второй случай.

Итак, пусть в интеграле стоит правильная, несократимая дробь.

В высшей алгебре доказывается, что такую дробь можно представить в виде суммы простейших дробей разных видов в зависимости от того, какие корни имеет многочлен знаменателя . Рассмотрим суть этого доказательства. Запишем многочлен в развернутом виде

(3.4.1)

где действительные (или комплексные) коэффициенты.

При делении на двучлен (х – α), где α – любое число, в остатке получают многочлен нулевой степени, т.е. число R(x) = R. В результате можно представить так:

(3.4.2)

Французским математиком Э.Безу доказана теорема: число R, получающееся в остатке, при делении многочлена на двучлен (х – α) равно значению этого многочлена при х = α, т.е. . Если α – корень многочлена, то при х = α он обращается в ноль. Следовательно остаток также будет равен нулю и равенство (3.4.2) примет вид:

(3.4.3)

где – многочлен, степень которого на единицу меньше.

«Основная теорема» высшей алгебры, доказанная немецким математиком Гауссом утверждает, что любой многочлен степени n > 0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

Пусть z₁ – корень многочлена . На основании тождества (3.4.3.)

(3.4.4.)

Если многочлен степени выше нулевой, к нему снова применима «Основная теорема». Пусть z₂ – корень многочлена , тогда

Повторяя этот процесс n раз, мы придем к разложению многочлена на линейные множители:

(3.4.5)

(b₀ можно принять равным единицы, разделив на него все члены многочлена (3.4.1)).

Среди корней z₁,z₂,…,z_n может оказаться часть действительных, а часть комплексных. В случае действительных и различных корней α₁,α₂,…,α_n многочлен разлагается на n – линейных множителей с действительными коэффициентами вида:

некоторые действительные корни могут быть равными. Если их «k», то все такие сомножители можно объединить в одну скобку и записать как . Корень х = α называют корнем кратности «k».

Если в разложении (3.4.5) есть комплексный корень то сопряженное ему комплексное число также будет корнем многочлена . Поэтому в разложении многочлена на линейные множители комплексные корни входят попарно сопряженными.

Произведение таких двух сомножителей дает квадратный трехчлен с действительными коэффициентами.

где

Среди квадратных множителей тоже может встретиться t одинаковых, объединяя в одну скобку их можно записать в виде - кратности t.

Таким образом, в разложении (3.4.5) многочлена могут встретиться множители только двух типов и т.е.

(3.4.6)

Доказано, что если удалось знаменатель рациональной функции представить в виде (3.4.6), то в разложении дроби на простейшие дроби каждому множителю соответствует сумма k дробей вида

а каждому множителю - соответствует сумма t дробей вида

Следовательно, если знаменатель удалось представить в виде (3.4.6), то имеет место разложение дроби на слагаемые:

(3.4.7)

Где А₁,…, А_k; В₁,…, В_t; С₁,…, С_t неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Интеграл от всякой рациональной функции сводится к интегралам от простейших рациональных дробей первого и второго вида, которые легко находятся. Интеграл – заменяется суммой интегралов от соответствующих простейших дробей.

Пример 1. Вычислить Степень многочлена числителя m = 5 больше степени старшего члена знаменателя n = 3. Выделяя целую часть, получим

Исходный интеграл сводится к сумме двух

Первый интеграл легко вычисляется.

Второй интеграл от правильной несократимой дроби. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по схеме (3.4.7) и приведем эти дроби к общему знаменателю.

Освобождаясь от знаменателей, получим

Так как это тождество, то оно справедливо при любых значениях х.

Полагая х = 0; х = 2; х = –2 (корни х³ – 4х = 0) получим –4А = –8; 8В = 40; 8С = –24, т.е. А = 2; В = 5; С = –3.

Итак, тождество

поэтому

Следовательно

Пример 2. Вычислить

Дробь правильная и нужно разложить на множители знаменатель, находим корни уравнения

.

При решении подобных уравнений есть правило: если коэффициент при старшем члене равен единице, тогда целые корни такого многочлена, обязательно являются делителями свободного члена.

Число 4 делится на ±1; ±2; ±4. Испытываем эти значения: х₁ = –1; х₂ = 2 являются корнями. Для отыскания третьего корня используем правило кратности корня: если х = α является корнем кратности k многочлена , то

но

Производная и обращается в нуль при х = 2, т.е. х = 2 двукратный корень. Окончательно имеем:

Значит, разложение дроби на простейшие должно иметь вид:

Находим коэффициенты А,В и С, освобождаясь от знаменателя как в примере 1.

Полагая х = –1; х = 2 и х = 0 находим

С = –1. Отсюда

Пример 3. Найти Дробь правильная, знаменатель дан своим разложением. Поэтому

Освободимся от знаменателей

Раскроем скобки и соберем слагаемые с одинаковыми показателями степеней

Многочлены равны, поэтому должны быть равны числовые коэффициенты при одинаковых показателях степеней. Получим систему уравнений

х4	А + В = 0
х3	С = 0
х2	2А + В + D = 1
х	C + E = 1
х0	A = –1

Решение этой системы дает

А = –1; В = 1; С = 0; D = 2; E = 1.

Стало быть

Первый и второй интегралы известны и равны и Займемся третьим интегралом

Интеграл вычислим по формуле приведения (рекуррентная формула), которую выведем для любого k > 1.

Второй интеграл возьмем по частям

u = x	du = dx

тогда

В итоге (3.4.8)

Заменяя в (3.4.8) k на k–1 получим выражение для через и т.д. В конце придем к интегралу

Вычислим интеграл по формуле (3.4.8). Здесь k = 2, поэтому

Подставляя полученный результат, имеем

Применяя равенство (3.4.8), проверьте, что

Таким образом, интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции.

Во многих случаях интегрирование функции удается выполнить, если при помощи некоторой подстановки свести ее к функции рациональной. О таких заменах говорят, что они рационализируют интеграл.

В дальнейшем символом будем обозначать выражение, рациональное относительно где над производятся только рациональные операции, т.е. сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.