3.9.3. Объем тел с известным поперечным сечением

Двойной интеграл по плоской области D, от заданной на ней функции записывают так:

где ds – мера бесконечно малых элементов области D. Вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по переменным x и y. Чтобы получить формулу перехода к линейным интегралам, решим задачу о вычислении объема тела с известным поперечным сечением.

Рассмотрим тело произвольной формы (Рис.3.9.1), у которого площадь поперечных сечений, перпендикулярных оси абсцисс, есть известная функция от x:

S = S(x).

Нужно найти объем этого тела. Спроектируем крайние точки тела на ось Ox. Пусть их координаты равны х = α, х = b.

Далее, разобьем тело плоскостями, перпендикулярными оси Ox, на n – частей.

Объем i-ой части (Рис. 3.9.1) можно приближенно принять за объем прямого цилиндра с высотой Δx_i и основанием S(x_i):

Тогда объем всего тела приближенно будет равен сумме объемов элементарных частей:

Точное значение объема получают в пределе, который дает линейный интеграл от функции S(x) на интервале [α,b]

Таким образом, объем тела произвольной формы можно найти с помощью линейного интеграла, если известен закон изменения площади его поперечного сечения, т.е. известна функция S(x).

3.9.4. Вычисление двойного интеграла путем сведения к линейному

Требуется вычислить двойной интеграл от функции z = f(x,y) по правильной плоской области D:

(3.9.1)

Область D называют правильной, если прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее границу не более чем в двух точках (Рис. 3.9.2а). Неправильную область можно разбить на части и представить как объединение правильных областей, например D₁ и D₂ (Рис.3.9.2б).

Плоскую область D правильной формы считают заданной, если известны уравнения ограничивающих ее линий.

Напомним, что элементарные части (элементарные области), на которые разбивают область D при составлении интегральной суммы, были обозначены в круглых скобках:

а их меры (площади) тем же символом без круглых скобок:

Найдем удобное выражение для меры элемента области – ds.

Для этого разобьем D на элементарные части прямыми, параллельными координатным осям (Рис.3.9.2а). Тогда мера элементарной части будет равна площади прямоугольника:

и двойной интеграл (3.9.1) можно записать так:

(3.9.2)

Известно, что двойному интегралу дают геометрическую интерпретацию: он равен объему цилиндрического тела, основанием которого является область D, а сверху это тело ограничено графиком подынтегральной функции z = f(x,y) (Рис. 3.9.3). Следовательно, задачу о вычислении двойного интеграла можно свести к задаче вычисления объема тела с известным поперечным сечением. Найдем объем цилиндрического тела, изображенного на рисунке 3.9.3, по формуле:

(3.9.3)

Для этого, спроектируем крайние точки А и В основания цилиндра (области D) на ось Ох, в результате получим отрезок [α,b], в пределах которого изменяется переменная х. При этом точки А и В делят границу области D на две линии. Пусть уравнения этих линий соответственно равны: y₁(x); y₂(x), тогда переменная y внутри D будет изменятся от своих значений на линии y₁(x) до значений на y₂(x).

Рассечем тело плоскостью х = х₀, перпендикулярной оси Ох. В сечении получим криволинейную трапецию, ограниченную сверху линией пересечения графика подынтегральной функции z = f(x,y) и плоскости х = х₀. Уравнением этой линии является функция одного аргумента

z = f(x₀,y)

где х₀ = const, y – независимая переменная.

Площадь полученной криволинейной трапеции равна линейному интегралу:

(3.9.4)

у которого нижний предел y₁(x₀) – есть точка входа прямой х = х₀ в область D, а верхний предел y₂(x₀) – точка ее выхода. Очевидно, что при изменении х₀ внутри отрезка [α,b] будет изменятся площадь соответствующего ему поперечного сечения, вычисляемая по формуле (3.9.4). Иными словами, площадь поперечного сечения цилиндрического тела есть функция от x (индекс 0 можно опустить) вида:

и поэтому объем этого тела, можно найти по формуле (3.9.3) т.е.:

Так как найденный объем равен двойному интегралу, то окончательно получим:

(3.9.5)

Из формулы (3.9.5) следует, что вычисление двойного интеграла свелось к последовательному вычислению двух линейных интегралов. Внутренний интеграл берут по переменной y, при этом x – считают постоянной. После нахождения первообразной и подстановки пределов во внутреннем интеграле остается одна переменная x, по которой вычисляют внешний интеграл.

Порядок интегрирования в выражении (3.9.5) можно менять местами. Чтобы внешний интеграл вычислялся не по x, как следует из формулы (3.9.5), а по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Оy. Тогда проекции ее крайних точек дадут постоянные пределы во внешнем интеграле для y. Внутренний же интеграл следует вычислять по переменной x, при этом пределы у этой переменной будут зависеть от у.

Таким образом, у внешнего интеграла в обоих случаях пределы постоянны, они равны проекциям крайних точек области на соответствующую координатную ось.

Последовательное вычисление двух линейных интегралов называют двукратным интегрированием.

Следует отметить, что основная трудность при сведении двойного интеграла к двукратному заключается в расстановке пределов во внутреннем интеграле, которые в большинстве случаев переменные. Поэтому сначала строят область D и выбирают координатную ось, на которую проектируют область. Затем находят проекции (α,b) крайних точек области на эту ось и по чертежу определяют переменные пределы для внутреннего интеграла.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции f(x,y) = x – y по области D, ограниченной линиями: y = x², y = x.

Р ешение. Спроектируем построенную область на ось Oх (Рис. 3.9.4). Точки пересечения графиков функций y = x² и y = x – есть крайние точки области. Найдем их проекции:

x² = x; x₁ = 0; x₂ = 1

Таким образом, внутри области D переменная x изменяется от 0 до 1. Пределы изменения второй переменной y будут зависеть от x. Чтобы найти их, проведем прямые параллельные оси Оy, пересекающие область D. Эти прямые для различных значений x входят в область на линии y = x² и выходят из области на линии y = x (Рис.3.9.4). Следовательно, переменная y внутри области изменяется от значений на линии y = x² до значений на линии y = x.

Подставляя вместо y верхний и нижний пределы, получим:

Как отмечалось выше, чтобы внешний интеграл вычислялся по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Oy. Найдем проекции крайних точек области на эту ось:

(Рис. 3.9.4).

Тогда значения переменной x в области D будут изменятся от ее значений на уравнении прямой x = y до ее значений на уравнении параболы, решенной относительно x: следовательно:

В обоих случаях результат вычислений один и тот же.

Когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям (Рис.3.9.5), пределы становятся постоянными не только внешнего, но и внутреннего интегралов. В этом случае формулы приведения двойного интеграла к двукратному интегрированию становятся очень простыми:

т.е. порядок интегрирования можно брать любой.