3.10.3. Общий случай замены переменных в тройном интеграле

В общем случае замену переменных интегрирования в тройном интеграле осуществляют так же, как и в двойном.

Дан тройной интеграл:

где dxdydz = dν – мера элемента пространственной области W в декартовой системе координат, f(x,y,z) – интегрируемая функция, заданная в точках этой области.

Пусть функции:

(3.10.6)

непрерывны вместе со своими частными производными и однозначно разрешаются относительно u, υ, ω. Тогда, с помощью этих функций область W в декартовой системе координат однозначно отображается в область W^* в криволинейной системе координат (Рис. 3.10.8).

При этом элементы dV и dV^* в старой и новой системах будут связаны соотношением:

или

(3.10.7)

Где

В результате тройной интеграл преобразуется по формуле:

(3.10.8),

а его вычисление сводят к трехкратному интегрированию по переменным u, υ, ω. Примерами криволинейных систем в пространстве могут служить цилиндрическая и сферическая системы координат. Перейдем к их рассмотрению.

3.10.4. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

П оложение точки в пространстве в цилиндрической системе координат однозначно задают тремя числами φ, r, z.

Цилиндрические координаты точки получают путем добавления к ее полярным координатам аппликаты z (Рис.3.10.9). Цилиндрические и декартовые координаты точки связаны между собой соотношениями:

(3.10.9)

Перейдем в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим координатам. Элемент объема dV преобразуется по формуле

Найдем определитель Якоби:

следовательно:

(3.10.10)

Далее, нужно перейти к трем линейным интегралам по переменным r,φ,z. Пределы изменения новых переменных расставляют по виду области W. Так же как и в двойном интеграле строить область W^* не обязательно. Покажем это на примере.

Пример 4. Вычислить тройной интеграл где область W задана неравенствами:

Решение. Область, по которой нужно вычислить тройной интеграл, заключена внутри цилиндра , а сверху отрезана конусом (Рис. 3.10.10).

Цилиндрическая поверхность и конус пересекаются по линии на высоте z = 1. Перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам по формуле (3.10.10):

Найдем пределы изменения r,φ,z. Проекция W на плоскость xОy – есть круг, ограниченный окружностью уравнение которой в полярной системе является координатной линией r = 1. Следовательно, значения переменных r и φ заключены в пределах:

Для определения границ изменения переменной z, проведем прямые, параллельные оси Oz. Эти прямые будут входить в область W на плоскости z = 0 и выходить из нее на конической поверхности Найдем уравнение этой поверхности в цилиндрической системе

Таким образом, переменная z в области W изменяется от 0 до своих значений на конусе z = r. Переходя к трехкратному интегрированию по переменным r, φ и z, получим:

В данном примере проекцией W на плоскость xOy был круг с центром в начале координат, поэтому при переходе к цилиндрическим координатам пределы у переменных r и φ были постоянными. Это упростило вычисление тройного интеграла.

3.10.5. Тройной интеграл в сферической системе координат

П оложение точки в сферической системе координат определяют тремя числами:

r – расстоянием до начала координат или длиной радиус-вектора,

Θ – углом между радиус-вектором и осью Oz,

φ – углом между осью Оx и проекцией радиус-вектора на плоскость xOy (Рис. 3.10а.1).

Таким образом, координатами точки в сферической системе отсчета являются:

M(r, Θ, φ)

Причем 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ Θ ≤ π.

Найдем связь между декартовыми и сферическими координатами точки М:

Проекция радиус-вектора на плоскость xOy равна OP = rsinΘ, поэтому

(3.10а.1)

Перейдем в тройном интеграле от декартовой к сферической системе координат. Для этого вычислим Якобиан.

Раскроем определитель по элементам третьей строчки:

Таким образом, при переходе к сферическим координатам, элемент объема следует преобразовать по формуле:

(3.10а.2)

Подставляя в тройном интеграле вместо переменных x,y,z их выражения через r, Θ, φ из равенств (3.10а.1), а вместо dxdydz элемент объема в сферической системе координат (3.10а.2), получим:

(3.10а.3)

Переход к сферическим координатам значительно облегчает вычисление тройного интеграла, когда область интегрирования представляет собой шар с центром в начале координат или шаровой слой.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл где областью W является сфера радиуса R (Рис. 3.10а.2).

Решение. Преобразуем тройной интеграл к сферическим координатам:

Значения новых переменных r,Θ,φ заключены в пределах:

0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ Θ < π.

Так как пределы у всех переменных постоянны, можно записать:

Вычисляя три линейных интеграла, получим:

В заключении хотелось бы еще раз подчеркнуть, что замена переменных в кратных интегралах, а именно переход к полярным и цилиндрическим координатам, значительно упрощает вычисление двойных и тройных интегралов, когда плоская область D является частью круга или кольца, а объемная W – проектируется на одну из координатных плоскостей в часть круга или кольца с центром в начале координат.

Точно также переход к сферическим координатам упрощает вычисление тройных интегралов по пространственным областям W, которые представляют собой сферу или часть сферы с центром в начале координат. Если центр смещен, то во всех случаях пределы у внутренних интегралов становятся переменными.