Лекция 3.10. Замена переменных в кратных интегралах. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

В силу того, что вычисление двойных и тройных интегралов сводят к двукратному и трехкратному интегрированию, эти интегралы получили название кратных.

Замена переменных в кратных интегралах, так же как в линейном интеграле, часто существенно упрощает их вычисление.

3.10.1. Общий случай замены переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл где dxdy = ds мера элемента плоской области D в декартовой системе координат, f(x,y) – интегрируемая функция, заданная на точках области D.

Пусть с помощью функций:

(3.10.1)

осуществляют переход от старых координат x, y к новым u, υ.

Эти функции должны быть непрерывными вместе со своими частными производными и однозначно решаться относительно u и υ. При этих условиях каждой точке М на плоскости xOy соответствует единственная точка М^* в криволинейной системе координат u и υ, и область D будет однозначно отображаться в область D^* (Рис. 3.10.1).

При переходе от декартовых к криволинейным координатам элемент площади dxdy преобразуется в элемент площади dudυ при этом они связаны соотношением:

(3.10.2)

где – функциональный определитель Якоби, или Якобиан, он равен:

Таким образом, замену переменных интегрирования в двойном интеграле осуществляют по формуле:

(3.10.3)

Из выражения (3.10.3) следует, что для того чтобы в двойном интеграле перейти к новым переменным интегрирования, нужно: переменные x и y заменить функциями (3.10.1), вместо элемента площади ds = dxdy подставить выражение dudυ и область D заменить ее отображением D^*. Затем, вычисление двойного интеграла (3.10.3) сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по новым переменным u и υ.

3.10.2. Двойной интеграл в полярных координатах

Перейдем в двойном интеграле от декартовых к полярным координатам по формуле (3.9.3), при этом за u примем полярный радиус r, а за υ – угол φ:

Функции x(r,φ) и y(r, φ) известны, они равны:

Найдем определитель Якоби:

Тогда

(3.10.4)

и двойной интеграл в полярной системе координат примет вид:

(3.10.5)

Чтобы вычислить полученный интеграл (3.10.5), следует перейти к двукратному интегрированию по новым переменным r и φ, а для этого нужно найти пределы их изменения в области D^*.

Построение области D^* в полярных координатах не обязательно. Если построена область D в декартовой системе координат, то пределы изменения полярного радиуса r и угла φ в новой системе отсчета легко определить по области D.

Например, пусть область D ограничена замкнутой кривой, а полюс лежит внутри кривой (Рис. 3.10.2).

В этом случае нужно найти полярное уравнение ограничивающей линии r = r(φ).

Тогда угол φ внутри области будет изменяться от 0 до 2π, а полярный радиус r – от 0 до своих значений на кривой r = r(φ), т.е.:

Е сли область D в декартовой системе отсчета есть полукруг радиуса R с центром в начале координат, расположенный в верхней полуплоскости (Рис. 3.10.3), то значения полярного радиуса r и угла φ внутри D заключены в пределах

0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π,

следовательно:

И наконец может быть еще такой случай. Полюс лежит за пределами области D (Рис. 3.10.4), которая ограничена двумя линиями:

r₁ = r₁(φ) и r₂ = r₂(φ), тогда

Приведем несколько примеров.

П ример 1. Вычислить двойной интеграл где область D есть первая четверть круга .

Решение. Построим область D в декартовой системе координат (Рис. 3.10.5). В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формуле (3.10.5):

Полярный угол φ в области D изменяется от 0 до , а полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

где D есть часть кольца, определяемая неравенствами:

Решение. Построим область D (Рис. 3.10.6). Вычисление данного интеграла в декартовой системе координат довольно громоздко, поэтому лучше преобразовать двойной интеграл к полярным координатам:

В области D полярный радиус r изменяется от 1 до 3, а полярный угол φ от до . Переходя к двукратному интегрированию по φ и r, получим:

Примечание. Уравнения окружностей x² + y² = 1 и x² + y² = 9 в полярной системе представляют собой координатные линии вида r = 1 и r = 3 соответственно. В этом легко убедиться, если в данные уравнения вместо переменных x и y подставить их выражения через полярные координаты:

x = r·cosφ, y = r·sinφ, в самом деле

r = 3

Уравнения прямых и , проходящих через начало координат, в полярной системе также переходят в координатные линии и . В частности, .

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

где область интегрирования задана неравенством

Решение. Преобразуем уравнение , выделив полный квадрат по переменной x:

Следовательно, границей области D является окружность радиуса центр которой смещен вправо по оси Ох на величину (Рис. 3.10.7).

В данном случае также удобно перейти к полярным координатам:

Полярный угол φ будет изменяться от до . Чтобы определить пределы для второй переменной r, найдем уравнение окружности в полярной системе:

Полярный радиус r внутри области D изменяется от 0 до своих значений на линии r = Rcosφ (Рис. 3.10.7), т.е. пределы во внутреннем интеграле зависят от φ. Поэтому интегрируем сначала по r:

В последнем выражении вынесем за знак интеграла R³ и учтем, что тогда :

Вычисляя последние интегралы по переменной φ, окончательно получим:

Из приведенных примеров следует, что когда область интегрирования представляет собой круг, кольцо или часть круга и кольца с центром в начале координат, то при переходе к полярной системе, пределы у новых переменных φ и r становятся постоянными, а это значительно упрощает вычисления двойных интегралов.