Раздел 3. Комплексные числа. Интегральное исчисление лекция 3.1. Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая, показательная и тригонометрическая формы записи комплексного числа
3.1.1. Алгебраическая форма комплексного числа, основные определения
Как известно, к действительным числам относятся:
Рациональные
(целые 1, 2, 3, … и дробные
);
Иррациональные
числа, например
,
и т.д.
Геометрически
действительные числа изображаются
точками на числовой оси
.
Число
вида: z
= α + iβ
называют комплексными, где
– мнимая единица, при этом
.
α – действительная часть комплексного числа z. Ее обозначают: α = ReZ;
β – количество мнимых единиц, или мнимая часть комплексного числа:
β = ImZ
Два комплексных числа считаются равными, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, т.е.
Комплексное число будет равным нулю тогда и только тогда, когда α = 0 и β = 0.
Комплексные
числа
отличающиеся
только знаком мнимой части, называют
сопряженными.
З
апись
комплексного числа в виде
принято считать его алгебраической
формой.
Комплексные числа геометрически также изображаются точками, только не на оси , а на плоскости.
Отложим
на оси
отрезок, равный действительной части
комплексного числа – α. На оси
- отрезок, равный числу мнимых единиц
β. Точка на плоскости xOy
с координатами (α,β) является геометрическим
изображением комплексного числа
(Рис.3.1.1).
При этом ось называют действительной осью, так как точки, лежащие на ней, соответствуют действительным числам. Последние можно рассматривать как часть комплексных, у которых β = 0.
Точки,
лежащие на оси
,
соответствуют чисто мнимым числам
у которых α = 0. Поэтому ось
получила название мнимой оси.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Ее мы будем обозначать так (z). Очевидно, что каждому комплексному числу можно поставить в соответствие и притом единственным образом точку на плоскости (z) и наоборот, каждой точке на плоскости (z) можно поставить в соответствие только одно комплексное число.
Таким образом, между множеством всех комплексных чисел и множеством точек плоскости (z) существует взаимно-однозначное соответствие.
3.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Соединим
начало координат на комплексной плоскости
с точкой
(Рис.3.1.1). Получим радиус-вектор
.
Модуль радиус-вектора или длина
отрезка,
соединяющего начало координат с точкой
называют модулем комплексного числа.
Он равен:
Модуль комплексного числа является действительным числом.
Угол
на который нужно повернуть ось
в положительном направлении (против
часовой стрелки) до совпадения с
радиус-вектором
,
называют аргументом
комплексного
числа, обозначают:
Очевидно, что у одного и того же комплексного числа будет бесчисленное множество аргументов. В самом деле, если к углу φ прибавить целое число оборотов, то положение точки на комплексной плоскости не изменится. Угол φ получил название главного значения аргумента комплексного числа. Его обозначают с маленькой буквы:
Все значения аргумента комплексного числа обозначают с большой буквы:
где k
= 0, 1, 2…
Выразим действительную и мнимую часть числа через нго модуль и аргумент
Подставляя значения α и β в алгебраическую форму комплексного числа, получим:
Последняя формула является тригонометрической формой комплексного числа