3.7.5.2 Линейные интегралы от разрывных функций (несобственные интегралы второго рода)

Рассмотрим интеграл у которого интервал [α,b] конечен, а подынтегральная функция f(x) – терпит разрыв второго рода в одном из концов интервала (Рис.3.7.3).

Изолируем точки бесконечного разрыва δ – окрестностью и рассмотрим такие пределы:

Эти пределы называют несобственными интегралами второго рода. Разрыв в одном из концов интервала обозначен символом «–».

В случае конечных пределов, говорят, что несобственные интегралы сходятся.

Если пределы не существуют или равны бесконечности, то несобственные интегралы расходятся.

Подынтегральная функция может иметь бесконечный разрыв в промежуточной точке х = с интервала [α,b] (Рис. 3.7.4). Интеграл от такой функции разбивают на два несобственных интеграла второго рода:

α < c < b,

Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл этот интеграл расходится, если расходятся хотя бы один из интегралов справа.

Сходящимся несобственным интегралам второго рода также можно придать определенный геометрический смысл: они равны конечной площади фигур бесконечной протяженности.

Интегралы от разрывных функций вычисляют по формулам, аналогичным для интегралов с бесконечными пределами:

Покажем на примерах применение этих формул.

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = 1. Изолируем точку разрыва и найдем предел:

Интеграл сходится, т.е. существует.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл

Решение. Функция терпит разрыв второго рода в начале интервала [0,1]. Отступим от точки разрыва и найдем предел:

Данный интеграл расходится, или не существует.

3.7.5.3. Признаки сходимости несобственных интегралов

В приведенных выше примерах существование несобственных интегралов определялось путем отыскания предела приращения первообразной. Как уже отмечалось, первообразная не всегда легко находится, а иногда вообще не выражается через элементарные функции. В таких случаях сходимость несобственных интегралов определяют по признакам сходимости, которые почти одинаковы для интегралов первого и второго рода.

Сформулируем сначала первый признак существования несобственных интегралов для неотрицательных функций.

Интегралы первого рода	Интегралы второго рода
Пусть две неотрицательные функции f(x) и φ(x) непрерывны на интервале [α,∞). Если f(x) ≤ φ(х) на [α,∞), и интеграл - сходится, то сходится и Если f(x)≥φ(x) на [α,∞) и интеграл - расходится, то интеграл – также расходится.	Пусть две неотрицательные функции f(x) и φ(х) на интервале [α,b] терпят бесконечный разрыв в точке b. Если f(x)≤φ(x) на [α,b] и интеграл - сходится, то сходится и Если f(x)≥φ(x) на [α,b], и интеграл - расходится, то интеграл – также расходится.

Признак доказывается на основании интегрирования неравенств. Чтобы пользоваться указанным признаком, нужно иметь набор функций, с которыми сравнивают подынтегральную, и сходимость или расходимость интегралов от которых известна. Для несобственных интегралов первого рода подынтегральную функцию сравнивают с функцией интеграл от которой:

Для интегралов второго рода подынтегральную функцию, разрывную в нижнем конце интервала, сравнивают с функцией интеграл от которой:

Если подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в верхнем конце интервала, то ее сравнивают с функцией интеграл от которой:

Покажем это. Вычислим несобственные интегралы от эталонных функций.

Полученный предел будет равен бесконечности, если показатель степени 1 – n > 0 или n < 1, интеграл расходится.

Если же 1 – n < 0 или n > 1, то выражение будет бесконечно малой величиной. Следовательно, при n >1 интеграл сходится. Осталось выяснить вопрос сходимости данного интеграла при n = 1.

Интеграл расходится.

Рассмотрим следующий интеграл от функции

В правой части последнего равенства будет бесконечно малой, если 1 – n > 0, т.е. при n < 1 интеграл сходится, а при 1 – n < 0, или при n > 1 расходится. Для n = 1 интеграл также расходится:

И, наконец, вычислим несобственный интеграл от функции :

Из полученного выражения следует: если 1 – n >0, n < 1 интеграл сходится, если 1 – n < 0, n > 1 – интеграл расходится.

Рассмотрим несколько примеров на применение данного признака. Определить сходимость или расходимость интегралов.

1. Сравним подынтегральную функцию с функцией интеграл от которой сходится (n = 2 > 1). Так как то данный интеграл также сходится.

2. Эталонную функцию выберем следующим образом для которой .

Подынтегральная функция меньше эталонной:

интеграл сходится, или существует.

3. Сравним подынтегральную функцию:

интеграл расходится или не существует.

4. В нижнем конце интервала подынтегральная функция терпит разрыв второго рода, сравним ее с функцией

так как интеграл сходится.

5. Функция, стоящая под знаком интеграла, обращается в бесконечность в верхнем конце интервала. Поэтому сравним ее с функцией вида:

интеграл сходится.

Как уже отмечалось, первый признак сходимости применим для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Если подынтегральная функция меняет знак, сходимость несобственных интегралов оценивают по второму признаку. Приводим его формулировку.

Для интегралов первого рода	Для интегралов второго рода
Пусть знакопеременная функция f(x) непрерывна на интервале [α,∞). Если сходится интеграл от абсолютной величины функции то сходится и интеграл	Пусть знакопеременная функция f(x) на [α,b] терпит разрыв 2 рода в точке х = b. Если сходится интеграл то сходится и интеграл

Несобственные интегралы первого и второго рода, для которых сходятся соответствующие интегралы от модуля подынтегральной функции, называют абсолютно сходящимися.

Пример 6. Определить сходимость интеграла

Решение. Подынтегральная функция знакопеременна. Рассмотрим интеграл от ее модуля:

К последнему интегралу можно применить первый признак сходимости, так как подынтегральная функция не отрицательна. Сравним ее со степенной функцией:

n = 3 >1

Данный интеграл сходится абсолютно.

Пример 7. Определить сходимость интеграла

Решение. Подынтегральная функция по абсолютной величине не превосходит положительную функцию интеграл от которой сходится (лекция 3.7). Данный интеграл также сходится абсолютно.

Бывают случаи, когда интеграл от модуля знакопеременной функции расходится, а от самой функции сходится. Такие несобственные интегралы называют условно сходящимися. Примером может служить интеграл Дирихле:

для которого интеграл от модуля подынтегральной функции на интервале [0,∞) расходится. Однако его величина, найденная специальными приемами (соответствующий неопределенный интеграл не берется), равна конечному числу:

Интеграл Дирихле сходится условно.