3.6.2. Интергальная сумма, определенный интеграл

Отвлечемся теперь от физического смысла рассмотренной задачи. Выясним, что было в ней задано, и какие математические операции привели к её решению.

При этом будем называть фигурами: линии в пространстве и на плоскости (в частности это может быть отрезок оси), плоские области, поверхности в пространстве и наконец пространственные тела.

Рассматривая фигуры различных типов, будем говорить об их мере. В случае линий под мерой будем понимать их длину, для тонких поверхностей и плоских областей – их площадь, в случае пространственных тел мерами будут служить объемы.

В свете сказанного в данной задаче были заданы меры фигур: длины материальных линий (прямой и изогнутой), обладающих массами, размеры пластин и тела.

Обозначим фигуру (безразлично какую именно) символом – (Ω), а ее меру – Ω (таким же символом только без круглых скобок). Далее, на точках каждой фигуры была задана функция – f(P). Она являлась плотностью массы ρ(P). В других задачах эта функция может быть любой другой физической величиной, например, плотностью заряда, температурой и т.д.

При решении данной задачи было проделано пять операций:

1. Фигура (Ω) или область размером Ω разбивалась произвольным образом на конечное число (областей):

с мерами

2. В каждой части с номером i выбиралась произвольная точка и в ней вычислялось значение функции:

3. Найденное значение умножалось на меру соответствующей элементарной части:

4. Полученные произведения складывались по всем частям фигуры:

5. И наконец, находился предел составленной суммы при увеличении числа разбиений так, что наибольший из диаметров элементарных частей стремился к нулю.

Сумму, полученную в результате первых четырех операций, называют интегральной суммой. Ее величина при заданном числе разбиений определяется двумя факторами.

Во-первых, способом разбиения фигуры на элементарные части, поскольку это разбиение произвольно. Например, плоскую пластину можно разбить на n одинаковых квадратов или n треугольников, либо на n прямоугольников разных размеров.

Во-вторых, значение интегральной суммы зависит от выбора точки внутри каждой элементарной части, так как этот выбор также произволен.

Поэтому, для данного n можно составить бесчисленное множество интегральных сумм, которые будут иметь различные числовые значения. Однако, при увеличении числа разбиений все суммы стремятся к одному и тому же пределу (числу). В приведенной выше задаче значения составленных интегральных сумм стремились к массе конкретных тел. Иными словами, предел не зависит от способов составления интегральных сумм. Этот предел, равный числу, получил название определенного интеграла.

Определение. Определенным интегралом по фигуре (Ω) от заданной на ней функции f(P) называют предел, к которому стремится n-ая интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных частей, на которые дробится фигура. Обозначают:

Знак интеграла ∫ – есть вытянутая первая буква латинского слова Summa, он должен напоминать о той сумме, которая при предельном переходе дала величину определенного интеграла.

(Ω) – фигура, или область, расположенная определенным образом относительно выбранной системы отсчета.

f(P) – подынтегральная функция, f(P)dΩ – подынтегральное выражение, напоминающее вид слагаемых в интегральной сумме.

Индекс i – в подынтегральном выражении опущен, чем подчеркивается, что в процессе суммирования, который завершается предельным переходом, значения функции вычисляются во всех точках области (Ω).

В зависимости от вида фигуры, на точках которой задана функция, существует несколько типов определенного интеграла.

Если фигура (Ω) – прямая линия, расположенная на числовой оси между точками х = α и х = b, то интеграл получил название просто «определенного» или «линейного», его записывают:

Так как точка на прямой имеет одну координату, под знаком линейного интеграла стоит функция одного переменного. Интервал от α до b называют интервалом интегрирования.

Если фигура (Ω)– кривая линия L – интеграл криволинейный, его обозначают:

При этом линия L может быть задана как на плоскости, так и в пространстве. Для плоской кривой под знаком криволинейного интеграла стоит функция двух переменных

Для пространственных линий криволинейный интеграл находят от функции трех переменных

Областью интегрирования является множество точек линии L, на которых задана функция.

Для плоских фигур (Ω)= D интеграл называют двойным, обозначают:

Область интегрирования – множество точек плоской области D.

Если фигура (Ω) – часть поверхности q, интеграл поверхностный:

И, наконец, для пространственных фигур, (Ω) = W, интеграл называют тройным, записывают:

Двойной интеграл вычисляют от функций двух переменных, поверхностный и тройной – от функций трех переменных, так как точки на поверхности и в пространстве имеют три координаты.

У интегралов всех типов областью интегрирования является множество точек той фигуры, на которой задана подынтегральная функция.