3.5.2. Тригонометрические подстановки

Следующие интегралы:

1.

2.

3.

приводят к интегралам от рациональной функции относительно sinz, cosz при помощи следующих тригонометрических подстановок: для первого х = αsinz или х = αcosz, для второго x = αtgz или αctgz и для третьего или

Пример 12. Вычислить Интеграл первого вида,

поэтому x = sinz; dx = coszdz.

Интеграл свелся к табличному. Возвращаясь к переменной х, получим

z = arcsinx;

Пример 13. Найти Интеграл третьего вида.

Замена дает

Переходя к прежней переменной интегрирования, получим

В заключении хотелось бы отметить, что в основе всех рассмотренных приемов интегрирования лежала одна цель – свести интеграл к табличному. Если это удавалось, то первообразная находилась до конца, т.е. выражалась через известные элементарные функции.

3.5.3. Теорема Коши. Заключительные замечания

До сих пор весьма удачно для некоторых непрерывных функций находились их неопределенные интегралы . Однако, уже при определении первообразной возникал вопрос: всякая ли непрерывная функция имеет неопределенный интеграл и как его найти, если он существует. На первую часть вопроса дает ответ теорема Коши.

Теорема Коши. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Другими словами, для каждой непрерывной на числовом промежутке Х функции f(x) существует функция F(x), производная которой на Х в точности равна данной функции f(x), т.е.

Следовательно, справедливо и равенство

если f(x) непрерывна.

Однако теорема Коши не утверждает, что первообразную F(x) любой непрерывной функции можно представить в виде конечного числа комбинаций из основных элементарных функций. Поэтому следует различать существование функции и возможность ее выражения с помощью известных элементарных функций.

Первообразную, которая существует, но не выражается через элементарные функции, называют неберущимся интегралом. Иначе говоря, неберущиеся интегралы от непрерывных функций – это неэлементарные функции.

Интегральное исчисление порождает целый класс неэлементарных функций. Вот некоторые из них:

1. (интеграл Пуассона)

4. (интегральный косинус)

5. (интегральный синус)

6. (интегральный логарифм)

7. и многие другие.

Их нельзя представить никакими элементарными функциями. Указанные интегралы не только реально существуют, но и играют большую роль в прикладных задачах. Так интеграл Пуассона (1) или интеграл ошибок используют в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии. Интегралы Френеля (2,3) широко применяют в оптике. В теоретической физике находят применение интегральные косинус и синус (4,5). Ввиду важности для приложений, эти функции хорошо изучены, составлены таблицы их значений.

3.5.4. О технике интегрирования

Сравнительно редко удается дать конкретное правило интегрирования функций, но и тогда когда оно есть, теоретическая схема не всегда является рациональным путем. Интегрирование чаще всего может быть выполнено не единственным способом.

Владение операцией интегрирования заключается в умении произвести ее с минимумом затраченного времени и труда. Приведем несколько примеров. Например, к интегралу нелепо применять подстановку x = αtgz, ибо

Но к интегралу ее применить можно.

Полагая x = tgz; получим

Окончательно

Возьмем интеграл

Будет большой оплошностью разложить данную дробь на простейшие.

Подстановка z = x + 1; dz = dx значительно облегчает задачу:

В итоге

Изобретательность и навык приобретаются практикой при решении достаточно большого числа примеров.