§ 5.3. Решение однородных систем линейных

алгебраических уравнений.

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

(5.4)

Заметим, что однородная система (5.4) всегда имеет решение, по крайней мере тривиальное, то есть Таким образом, в случае однородной системы имеет смысл исследовать, когда система имеет нетривиальные решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

5.3.1. Теорема. (Критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений)

Для того, чтобы у однородной системы линейных алгебраических уравнений существовало нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных:

Доказательство:

Необходимость. Пусть  нетривиальное решение системы (5.4) . Записывая систему в векторной форме, получим

,

что означает линейную зависимость столбцов основной матрицы системы (5.4), следовательно, определитель матрицы не является базисным минором, откуда вытекает, что ранг матрицы меньше числа неизвестных

Достаточность. Пусть теперь ранг матрицы системы меньше числа неизвестных Тогда число базисных столбцов меньше общего числа столбцов, следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, т.е.

,

что и означает существование нетривиального решения.

Следствие 1. Для того, чтобы квадратная, однородная система линейных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Доказательство очевидным образом вытекает из предыдущей теоремы 5.3.1, так как условие в случае квадратной матрицы эквивалентно условию .

Следствие 2. Если число уравнений однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет нетривиальное решение.

Доказательство:

Очевидно, ранг основной матрицы системы не превышает числа ее строк, то есть числа уравнений, следовательно, по теореме 5.3.1 получаем требуемое утверждение.

5.3.2. Нахождение решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Так как однородная система является (5.4) является частным случаем неоднородной системы (5.1), то ее решения могут быть найдены из формул (5.3) при условии , т.е.

(5.5)

5.3.3. Свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Приведем основные свойства решений однородной системы уравнений:

5.3.3.1. Теорема.

Сумма решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (5.4) также является решением этой системы.

Доказательство:

Пусть

решения системы (5.4).

Следовательно, справедливы следующие векторные равенства

Складывая последние равенства, получим

что и означает, что сумма решений

также является решением системы (5.4).

5.3.3.2. Теорема.

Произведение решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (5.4) на произвольное действительное число также является решением этой системы.

Доказательство:

Пусть

решение системы (5.4).

Следовательно,

Умножая последнее равенство на произвольное действительное число , получим:

что и доказывает теорему.

Замечание. Таким образом, всякая линейная комбинация решений однородной системы линейных алгебраических уравнений также является решением системы.

5.3.3.3. Теорема.

Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений является линейным пространством размерности , где число неизвестных, а ранг основной матрицы системы.

Без доказательства.

Следствие 1. Всякая упорядоченная совокупность линейно независимых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений является базисом линейного пространства решений этой системы.

Следствие 2. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений образует подпространство в линейном пространстве -мерных арифметических векторов.

Следствие 3. Общим решением однородной системы линейных алгебраических уравнений (5.4) является линейная комбинация всех элементов произвольного базиса линейного пространства ее решений с произвольными коэффициентами.

5.3.4. Определение. Всякая совокупность линейно независимых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется ее фундаментальной системой решений.

Замечание. Фундаментальная система (совокупность) решений может быть также определена как произвольный базис в линейном пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

5.3.5. Нормальная фундаментальная система решений.

Придавая свободным переменным последовательно значения

получим линейно независимых решений системы (5.4) в виде

(5.6)

Полученная упорядоченная совокупность решений называется нормальной фундаментальной системой решений для однородной системы (5.4).

Замечание. Таким образом, общее решение системы (5.4) может быть записано в виде

(5.7)

Пример.

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду

Выберем базисный минор,

,

соответствующий базисным переменным . Следовательно, свободные переменные , откуда

Полагая

получим соответствующую нормальную фундаментальную систему решений

Таким образом, общее решение системы имеет вид