Приложение теории к объяснению образования изображения в микроскопе
В 1865 г. вышла в свет книга Негели и Швенденера "Микроскоп" [14], в которой авторы пытались применить законы геометрической оптики к конструированию микроскопа. В книге речь шла прежде всего об определении "проникающей" и "определяющей" способностях микроскопа, введенных Горингом. Согласно Негели и Швенденеру, стремление создать объективы с большими апертурами не было оправдано. Но на практике дело обстояло иначе: объективы с большой апертурой работали лучше, чем это должно было быть по теории Негели и Швенденера. Таким образом, одна геометрическая оптика не могла объяснить образование изображения в микроскопе. Именно теория Негели послужила исходным пунктом для работ Аббе и привела его впоследствии к замечательным открытиям.
В 1873 и 1874 гг. появились две работы, принадлежащие перу выдающихся немецких оптиков Аббе и Гельмгольца. Эти ученые пришли к выводу о недостаточности теории геометрической оптики для объяснения возникновения изображения в микроскопе и необходимости привлечения физической оптики для объяснения этого явления.
Толчком к исследованиям Гельмгольца послужила работа немецкого микроскописта Листинга [15] (1869 г.), в которой он предлагал конструкцию микроскопа, позволяющего, по его мнению, получать увеличение до 32000 раз и более. В связи с этим возник вопрос: можно ли сколько угодно повышать "мощность" микроскопа? Этот вопрос был поставлен Гельмгольцем в 1874 г. в его статье "Теоретическая граница способности микроскопа" [16]. Гельмгольц показал, что предел разрешающей способности микроскопа ограничивают два явления: 1 - уменьшение яркости изображения; 2 - явление дифракции. С ростом увеличения падает яркость изображения в микроскопе и возрастает дифракция. Оба эти явления наблюдаются в любом микроскопе. Это закон, справедливый для всех оптических систем.
Теория Аббе образования изображения в микроскопе
Свои исследования в области улучшения конструкции микроскопов Аббе опубликовал в 1873 г.[17]. Прежде всего Аббе показал, какую роль в образовании микроскопического изображения играют объектив и окуляр этого оптического инструмента. Далее Аббе дал классификацию аберраций, искажающих изображение при наблюдении через микроскоп. Однако самой большой заслугой Аббе было установление тех пределов, которые ставит перед конструкторами оптических систем волновая природа света.
К сожалению, Аббе не опубликовал большинство своих исследований, поэтому его работы по теории микроскопа дошли до нас в основном в изложении его учеников. Так, например, университетский курс "Теория оптических изображений в пределах геометрической оптики", который вел Аббе, был изложен его учеником С. Чапским в его "Теории оптических инструментов по Аббе" [18]. Работа Аббе "Теория дифракции в приложении к микроскопу" долгое время оставалась неопубликованной и только в начале XX в. увидела свет в пятитомном собрании сочинений Аббе.
Аббе удалось совершенно по-новому, с позиций волновой оптики, объяснить действие простой линзы. Он показал, что изображение предмета строится линзой сложным образом. Сначала в плоскости, перпендикулярной оси линзы, возникает интерференционная картина. При этом упомянутая плоскость играет роль своеобразной дифракционной решетки. Световой поток, проходящий от линзы через эту решетку, взаимодействует с решеткой и только после этого на небольшом расстоянии от плоскости решетки появляется изображение, которое можно увидеть на матовом стекле или сфотографировать. На языке математики вышеописанное называется фурье-преобразованием, то есть линза выполняет функцию фурье-преобразователя [19]. Но это построение изображения, созданного одной-единственной линзой, а как возникает изображение в микроскопе, который содержит много линз?
Согласно теории Аббе изображение в микроскопе получается двумя последовательными этапами:
1) образованием дифракционной картины в фокальной плоскости x' по методу Й. Фраунгофера (рис. 5);
2) образованием из отклоненных пучков оптического изображения А'' В" в сопряженной плоскости х".
В схеме, изображенной на рис. 5, в роли предмета АВ выступает длинная узкая щель, направленная вдоль оси у. По этой причине амплитуда в дифракционной картине, возникающей в плоскости x' будет изменяться только вдоль оси х.
Для отклоненных линзой лучей примем такие координаты точки наблюдения р, чтобы = kx' / f, где k = x' = f sin .
В этом случае интеграл Фурье будет иметь вид
Соответственно для распределения амплитуды в плоскости объекта будем иметь
В соответствии с рис. 5 распределение амплитуды в плоскости изображения А"В" обозначим через V"(х"). Если это изображение будет увеличено в М раз, то интеграл Фурье примет вид [19]
В реальной ситуации изображение в микроскопе образуется не всеми отклоненными пучками лучей, поэтому пределы интегрирования будут находиться в интервале x'1 - x'2 и синтез изображения будет осуществляться только за счет прошедших через объектив микроскопа пучков лучей. Самое главное, что в этом случае изображение уже не будет являться точной копией объекта (предмета) наблюдения. Это один из главных выводов теории образования изображения в микроскопе (по Аббе).
Согласно Аббе, разрешающая способность микроскопа заврхсит от его увеличения, величины числовой апертуры объектива и, наконец, от геометрического совершенства изображения (т.е. от степени исправления аберраций).
Произведение синуса половины апертуры объектива микроскопа (u на показатель преломления (n) среды, лежащей между объектом наблюдения и объективом, Аббе назвал "числовой апертурой" (А):
A = nsin(u/2).
Согласно теории Аббе, числовая апертура определяет ряд важнейших свойств микроскопа: яркость изображения, "проникающую" способность, "отображающую" способность (т.е. степень сходства изображения с предметом). Чем больше числовая апертура, тем более мелкие подробности объекта наблюдения можно рассмотреть в микроскоп.
Характеризуя роль творчества Аббе, академик Д.С. Рождественский писал:
"Аббе впервые ясно показал, что каждой остроте инструмента соответствует свой предел возможности. Нельзя грубыми пальцами обрабатывать даже мягкий материал с точностью до сотой миллиметра, для этого нужны тонкие инструменты. Тончайший же из всех инструментов - это длина волны. Нельзя видеть объекты меньше полудлины волны - утверждает дифракционная теория Аббе, - и нельзя получить изображение меньше полудлины волны, т.е. меньше 1/4 микрона... Таким образом, гением Аббе установлено сознательное творчество в микроскопии и достигнуты пределы возможного" [20].