
3 Практична частина
3.1 Контрольний приклад
За даними лабораторних досліджень електричний струм (mkA), якій протікає по рослині протягом доби, залежить від експозиції взаємодії (год), про що свідчать наведені дані.
Таблиця
3.1 – Залежність
електричного струму від експозиції
взаємодії,
Напруга, прикладена до рослини, U=60 B |
|||
Взаємодія
|
Електричний
струм
|
Взаємодія , год |
Електричний струм , mkA |
2 |
232,8 |
14 |
289,8 |
4 |
236,1 |
16 |
302,3 |
6 |
238,4 |
18 |
320,4 |
8 |
251,3 |
20 |
351,6 |
10 |
268,4 |
22 |
378,8 |
12 |
276,5 |
24 |
410,3 |
Визначити апроксимуючу функцію з функцій визначеного типу , , , , , , яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодіїі побудувати її графік.
Розв’язання.
Побудуємо формули нелінійних функціональних залежностей за алгоритмом побудови апроксимуючої функціональної залежності. Знайдемо суми квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючих функцій для кожної функціональної залежності, що розглядається.
Гіперболічна функціональна залежність .
Побудуємо
лінійну модель
,
використавши
відповідні формули переходу до нових
координат
(таблиця
2.1). За вихідною таблицею залежності
електричного струму від експозиції
взаємодії
,
побудуємо таблицю даних
,
у новій системі координат
.
Таблиця 3.2 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Гіперболічна функціональна залежність
|
0,500 |
0,250 |
0,167 |
0,125 |
0,100 |
0,083 |
0,071 |
0,063 |
0,058 |
0,050 |
0,045 |
0,042 |
|
232,8 |
236,1 |
238,4 |
251,3 |
268,4 |
276,5 |
289,8 |
302,3 |
320,4 |
351,6 |
378,8 |
410,3 |
За даними таблиці 3.2 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.3 – Розрахункова таблиця для гіперболічної залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,500 |
232,8 |
0,250 |
116,400 |
232,8 |
191,10 |
1738,83 |
2 |
0,250 |
236,1 |
0,063 |
59,025 |
236,1 |
262,11 |
676,47 |
3 |
0,167 |
238,4 |
0,028 |
39,733 |
238,4 |
285,78 |
2244,72 |
4 |
0,125 |
251,3 |
0,016 |
31,413 |
251,3 |
297,61 |
2144,91 |
5 |
0,100 |
268,4 |
0,010 |
26,840 |
268,4 |
304,71 |
1318,70 |
6 |
0,083 |
276,5 |
0,007 |
23,042 |
276,5 |
309,45 |
1085,56 |
7 |
0,071 |
289,8 |
0,005 |
20,700 |
289,8 |
312,83 |
530,34 |
8 |
0,063 |
302,3 |
0,004 |
18,894 |
302,3 |
315,37 |
170,70 |
9 |
0,056 |
320,4 |
0,003 |
17,800 |
320,4 |
317,34 |
9,38 |
10 |
0,050 |
351,6 |
0,003 |
17,580 |
351,6 |
318,92 |
1068,27 |
11 |
0,045 |
378,8 |
0,002 |
17,218 |
378,8 |
320,21 |
3433,18 |
12 |
0,042 |
410,3 |
0,002 |
17,096 |
410,3 |
321,28 |
7924,11 |
Сума |
1,552 |
3556,7 |
0,391 |
405,740 |
3556,70 |
3556,70 |
22345,16 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
, .
,
.
За
формулами переходу знайдемо значення
параметрів
і
гіперболічної функціональної залежності:
.
Отже, гіперболічна залежність,
яка описує залежність електричного
струму від експозиції взаємодії, має
вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.3.
Сума квадратів відхилень
вихідних значень і значень апроксимуючої
функції
.
Дробово-лінійна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.4 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Дробово-лінійна функціональна залежність
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
|
0,0043 |
0,0042 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0033 |
0,0031 |
0,0028 |
0,0026 |
0,0024 |
За даними таблиці 3.4 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.5 – Розрахункова таблиця для дробово-лінійної залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0,0043 |
4 |
0,0086 |
232,8 |
225,1 |
59,29 |
2 |
4 |
0,0042 |
16 |
0,0169 |
236,1 |
234,3 |
3,24 |
3 |
6 |
0,0042 |
36 |
0,0252 |
238,4 |
244,4 |
36 |
Продовження таблиці |
|||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8 |
0,0040 |
64 |
0,0318 |
251,3 |
255,1 |
14,44 |
5 |
10 |
0,0037 |
100 |
0,0373 |
268,4 |
267,2 |
1,44 |
6 |
12 |
0,0036 |
144 |
0,0434 |
276,5 |
280,3 |
14,44 |
7 |
14 |
0,0035 |
196 |
0,0483 |
289,8 |
294,6 |
23,04 |
8 |
16 |
0,0033 |
256 |
0,0529 |
302,3 |
310,5 |
67,24 |
9 |
18 |
0,0031 |
324 |
0,0562 |
320,4 |
328,4 |
64 |
10 |
20 |
0,0028 |
400 |
0,0569 |
351,6 |
348,7 |
8,41 |
11 |
22 |
0,0026 |
484 |
0,0581 |
378,8 |
371,3 |
56,25 |
12 |
24 |
0,0024 |
576 |
0,0585 |
410,3 |
396,8 |
182,25 |
Сума |
156 |
0,0418 |
2600 |
0,4941 |
3556,7 |
3556,7 |
530,04 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За
формулами переходу знайдемо значення
параметрів
і
гіперболічної функціональної залежності:
.
Дробово-лінійна функціональна
залежність, яка описує залежність
електричного
струму від експозиції взаємодії, має
вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.5.
Сума квадратів відхилень
вихідних значень і значень апроксимуючої
функції
.
Дробово-раціональна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.6 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Дробово-раціональна функціональна залежність
|
0,500 |
0,250 |
0,167 |
0,125 |
0,100 |
0,083 |
0,071 |
0,063 |
0,058 |
0,050 |
0,045 |
0,042 |
|
0,0043 |
0,0042 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0033 |
0,0031 |
0,0028 |
0,0026 |
0,0024 |
За даними таблиці 3.6 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.7 – Розрахункова таблиця для дробово-раціональної залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,500 |
0,0043 |
0,250 |
0,0021 |
232,8 |
217,44 |
235,93 |
2 |
0,250 |
0,0042 |
0,063 |
0,0011 |
236,1 |
263,38 |
744,20 |
3 |
0,167 |
0,0042 |
0,028 |
0,0007 |
238,4 |
283,25 |
2011,52 |
4 |
0,125 |
0,0040 |
0,016 |
0,0005 |
251,3 |
294,34 |
1852,44 |
5 |
0,100 |
0,0037 |
0,010 |
0,0004 |
268,4 |
301,43 |
1090,98 |
6 |
0,083 |
0,0036 |
0,007 |
0,0003 |
276,5 |
306,32 |
889,23 |
7 |
0,071 |
0,0035 |
0,005 |
0,0002 |
289,8 |
309,86 |
402,40 |
8 |
0,063 |
0,0033 |
0,004 |
0,0002 |
302,3 |
312,58 |
105,68 |
9 |
0,056 |
0,0031 |
0,003 |
0,0002 |
320,4 |
314,79 |
31,47 |
10 |
0,050 |
0,0028 |
0,003 |
0,0001 |
351,6 |
316,58 |
1226,40 |
|
|||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0,045 |
0,0026 |
0,002 |
0,0001 |
378,8 |
317,37 |
3773,64 |
12 |
0,042 |
0,0024 |
0,002 |
0,0001 |
410,3 |
319,36 |
8270,08 |
Сума |
1,552 |
0,0418 |
0,391 |
0,0061 |
3556,7 |
3556,7 |
20633,99 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За
формулами переходу знайдемо значення
параметрів
і
дробово-раціональної функціональної
залежності:
.
Отже,
дробово-раціональна залежність, яка
описує залежність електричного
струму від експозиції взаємодії,
має вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.7.
Сума квадратів відхилень
вихідних значень і значень апроксимуючої
функції
.
Ступенева функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.8 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Ступенева функціональна залежність
|
0,693 |
1,386 |
1,792 |
2,079 |
2,303 |
2,485 |
2,639 |
2,773 |
2,890 |
2,996 |
3,091 |
3,178 |
|
5,450 |
5,464 |
5,476 |
5,527 |
5,592 |
5,622 |
5,669 |
5,711 |
5,770 |
5,862 |
5,937 |
6,017 |
За даними таблиці 3.8 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.9 – Розрахункова таблиця для ступеневої залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,693 |
5,450 |
0,480 |
3,778 |
232,8 |
201,95 |
951,7225 |
2 |
1,386 |
5,464 |
1,922 |
7,575 |
236,1 |
235,66 |
0,1936 |
3 |
1,792 |
5,474 |
3,210 |
9,808 |
238,4 |
258,03 |
385,3369 |
4 |
2,079 |
5,527 |
4,324 |
11,492 |
251,3 |
275,11 |
566,9161 |
5 |
2,303 |
5,592 |
5,302 |
12,877 |
268,4 |
289,18 |
431,8084 |
6 |
2,485 |
5,622 |
6,175 |
13,971 |
276,5 |
301,17 |
608,6089 |
7 |
2,639 |
5,669 |
6,965 |
14,961 |
289,8 |
311,44 |
468,2896 |
8 |
2,773 |
5,711 |
7,687 |
15,835 |
302,3 |
321,08 |
352,6884 |
9 |
2,890 |
5,770 |
8,354 |
16,676 |
320,4 |
329,45 |
81,9025 |
10 |
2,996 |
5,862 |
8,974 |
17,562 |
351,6 |
337,46 |
199,9396 |
11 |
3,091 |
5,937 |
9,555 |
18,352 |
378,8 |
344,75 |
1159,403 |
12 |
3,178 |
6,017 |
10,100 |
19,122 |
410,3 |
351,42 |
3466,854 |
Сума |
28,305 |
68,096 |
73,049 |
162,010 |
3556,7 |
3556,7 |
8673,663 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
, .
,
.
За
формулами переходу параметри
і
ступеневої функціональної залежності
дорівнюють:
.
Отже, ступенева залежність,
яка описує залежність електричного
струму від експозиції взаємодії, має
вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої
функції для вихідних значень змінної
і квадрати відхилень
вихідних
значень
і значень апроксимуючої функції
.
Результати обчислень занесемо в таблицю
3.9. Сума квадратів відхилень вихідних
значень і значень апроксимуючої функції
.
Експоненціальна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.10 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Експоненціальна функціональна залежність
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
|
5,450 |
5,464 |
5,476 |
5,527 |
5,592 |
5,622 |
5,669 |
5,711 |
5,770 |
5,862 |
5,937 |
6,017 |
За даними таблиці 3.10 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.11 – Розрахункова таблиця для експоненціальної залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5,450 |
4 |
10,90 |
232,8 |
219,13 |
186,87 |
2 |
4 |
5,464 |
16 |
21,86 |
236,1 |
230,83 |
27,77 |
3 |
6 |
5,474 |
36 |
32,84 |
238,4 |
243,21 |
23,14 |
4 |
8 |
5,527 |
64 |
44,21 |
251,3 |
256,12 |
23,23 |
5 |
10 |
5,592 |
100 |
55,92 |
268,4 |
269,79 |
1,93 |
6 |
12 |
5,622 |
144 |
67,47 |
276,5 |
284,18 |
58,98 |
7 |
14 |
5,669 |
196 |
79,37 |
289,8 |
299,34 |
91,01 |
8 |
16 |
5,711 |
256 |
91,38 |
302,3 |
315,32 |
169,52 |
9 |
18 |
5,770 |
324 |
103,85 |
320,4 |
332,14 |
137,83 |
10 |
20 |
5,862 |
400 |
117,25 |
351,6 |
349,89 |
2,92 |
11 |
22 |
5,937 |
484 |
130,61 |
378,8 |
368,54 |
105,27 |
20 |
24 |
6,017 |
576 |
144,41 |
410,3 |
388,21 |
487,97 |
Сума |
156 |
68,096 |
2600 |
900,08 |
3556,7 |
3556,7 |
1316,44 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За
формулами переходу параметри
і
експоненціальної функціональної
залежності дорівнюють:
.
Отже,
експоненціальна залежність, яка описує
залежність електричного
струму від експозиції взаємодії,
має вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої
функції для вихідних значень змінної
і квадрати відхилень
вихідних
значень
і значень апроксимуючої функції
.
Результати обчислень занесемо в таблицю
3.11. Сума квадратів відхилень вихідних
значень і значень апроксимуючої функції
.
Логарифмічна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.12 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Логарифмічна функціональна залежність
|
0,69 |
1,39 |
1,79 |
2,08 |
2,30 |
2,48 |
2,64 |
2,77 |
2,89 |
3,00 |
3,09 |
3,18 |
|
232,8 |
236,1 |
238,4 |
251,3 |
268,4 |
276,5 |
289,8 |
302,3 |
320,4 |
351,6 |
378,8 |
410,3 |
За даними таблиці 3.12 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.13 – Розрахункова таблиця для логарифмічної залежності
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,69 |
232,8 |
0,48 |
161,36 |
232,8 |
187,38 |
2062,86 |
2 |
1,39 |
236,1 |
1,92 |
327,30 |
236,1 |
232,75 |
11,25 |
3 |
1,79 |
238,4 |
3,21 |
427,16 |
238,4 |
259,28 |
436,11 |
4 |
2,08 |
251,3 |
4,32 |
522,56 |
251,3 |
278,11 |
718,86 |
5 |
2,30 |
268,4 |
5,30 |
618,01 |
268,4 |
292,72 |
591,26 |
6 |
2,48 |
276,5 |
6,17 |
687,08 |
276,5 |
304,65 |
792,34 |
7 |
2,64 |
289,8 |
6,96 |
764,80 |
289,8 |
314,74 |
621,87 |
8 |
2,77 |
302,3 |
7,69 |
838,15 |
302,3 |
323,48 |
448,45 |
9 |
2,89 |
320,4 |
8,35 |
926,08 |
320,4 |
331,19 |
116,32 |
10 |
3,00 |
351,6 |
8,97 |
1053,30 |
351,6 |
338,08 |
182,76 |
11 |
3,09 |
378,8 |
9,55 |
1170,89 |
378,8 |
344,32 |
1188,95 |
12 |
3,18 |
410,3 |
10,10 |
1303,96 |
410,3 |
350,01 |
3634,45 |
Сума |
28,30 |
3556,7 |
73,05 |
8800,65 |
3556,7 |
3556,7 |
10805,48 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
, .
,
.
За
формулами переходу параметри
і
логарифмічної функціональної залежності
дорівнюють:
,
.
Логарифмічна функціональна залежність,
яка описує залежність електричного
струму від експозиції взаємодії, має
вигляд
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.13.
Сума квадратів відхилень
вихідних значень і значень апроксимуючої
функції
.
Оберемо апроксимуючу функцію за правилом: сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції мінімальна.
Таблиця 3.14 – Аналітичний критерій обору апроксимуючої функції
Функціональна залежність |
|
Гіперболічна |
22345,16 |
Дробово-лінійна |
530,04 |
Дробово-раціональна |
20633,99 |
Ступенева |
8673,663 |
Експоненціальна |
1316,44 |
Логарифмічна |
10805,48 |
На
основі таблиці 3.14 робимо висновок, що
для апроксимувати залежність електричного
струму від експозиції взаємодії необхідно
дробово-раціональною функцією, тому що
для неї сума квадратів відхилень
вихідних значень
і значень апроксимуючої функції
мінімальна,
.
П
обудуємо
графік функціональної залежності
електричного
струму від експозиції взаємодії.
Р
исунок
1 – Графік залежності
електричного
струму від експозиції
взаємодії і експериментальні дані