2 Теоретична частина

2.1 Теоретичні відомості

Необхідність встановлення форми зв’язку між ознаками виникає при проведенні теоретичних досліджень і практичних розрахунків в багатьох галузях техніки, у процесі вивчення різних питань природознавства, соціології, економіки. Вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, “згладжуючи” значення результативної ознаки, а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень факторної ознаки.

Нехай у результаті досліджень одержали деяку функціональну залежність величини від величини , при цьому припускається, що виміри значень , , проведені незалежно одне від одного і що похибки вимірювань підпорядковані нормальному закону розподілу випадкової величини з параметрами і , де , .

Задача полягає в аналітичному представленні табличної моделі , , тобто в підборі апроксимуючої функції , що описує результати експерименту. Функцію називають емпіричною, або рівнянням регресії y на x, параметри функції – параметрами рівняння регресії, графік функціональної залежності – лінією регресії.

Для апроксимації табличних моделей використовують метод найменших квадратів, при якому мірою наближення табличної моделі апроксимуючою функцією є сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції , тобто:

.

Апроксимуючу функцію обирають так, щоб сума була мінімальною, що відповідає найбільш ймовірним значенням апроксимуючої функціональної залежності.

Алгоритм побудови апроксимуючої функціональної залежності.

1. Від нелінійної залежності перейти до лінійної моделі , використавши відповідні формули переходу до нових координат.

2. За вихідною табличною моделлю , , побудувати нову таблицю даних , , де , .

3. Знайти параметри і лінійної моделі за формулами:

,

.

4. За відповідними формулами переходу обчислити параметри і нелінійної функціональної залежності .

5. Обрати апроксимуючу функцію за правилом: сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції мінімальна.

2.2 Побудова емпіричних формул нелінійних залежностей

Апроксимуючу функцію нелінійних залежностей обирають з функцій визначеного типу, наприклад, з , , , , , . Параметри і визначають за методом найменших квадратів, тому від нелінійних функціональних залежностей необхідно перейти до лінійних.

Нехай у системі координат існує нелінійна залежність , неперервна і монотонна на відрізку . Введемо зміні і так, щоб у новій системі координат нелінійна залежність стала лінійною моделлю . Тоді точки з координатами в площині лежатимуть на прямій. Якщо серед значень і є від’ємні значення, чи значення, які дорівнюють нулю, то виконують нормування вихідних даних, тобто підбирають такі додатні значення і , що , .

Покажемо, як від нелінійних функціональних залежностей перейти до лінійної моделі .

Гіперболічна функціональна залежність .

Покладемо , одержимо . За формулами переходу знайдемо параметри і гіперболічної функціональної залежності .

Дробово-лінійна функціональна залежність .

Знайдемо для даної функції обернену функцію . Покладемо , одержимо . За формулами переходу знайдемо параметри і дробово-лінійної функціональної залежності .

Дробово-раціональна функціональна залежність .

Знайдемо для даної функції обернену функцію . Виконаємо алгебраїчні перетворення для правої частини рівності , отже, . Введемо нові зміні , одержимо лінійну модель . За формулами переходу знайдемо параметри і дробово-раціональної функціональної залежності .

Ступенева функціональна залежність .

Логарифмуючи обидві частини рівності , знаходимо . Користуючись властивостями добутку і ступеня логарифмів, одержимо , отже, . Покладемо , одержимо лінійну модель . За формулами переходу параметри і ступеневої функціональної залежності дорівнюють: , .

Експоненціальна функціональна залежність .

Логарифмуючи обидві частини рівності , знаходимо . За властивостями добутку і ступеня логарифмів, одержимо , отже, . Покладемо , одержимо . За формулами переходу параметри і експоненціальної функціональної залежності дорівнюють: , .

Логарифмічна функціональна залежність .

Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної, зробимо підстановку , одержимо лінійну модель . За формулами переходу параметри і логарифмічної функціональної залежності дорівнюють: .

Способи вирівнювання нелінійних функціональних залежностей лінійною моделлю подано в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Формули вирівнювання лінійною моделлю нелінійних функціональних залежностей

Емпірична формула	Спосіб вирівнювання