2. Задачи математики применительно к социологической информации

Можно выделить две базовые задачи, которые социолог ставит перед математической статистикой:

• сжатие собранной эмпирической информации, направленное на вычленение скрытых в ней статистических закономерностей;

• решение проблемы соотнесения выборки и генеральной совокупности, и построения репрезентативной выборочной совокупности. При изучении статистических закономерностей социолога всегда интересует задача перенесения полученных им результатов с той совокупности объектов, которая непосредственно была обследована (с выборки) на более широкую совокупность (генеральную).

Основными объектами изучения для математической статистики являются т. н. случайные величины. Это функции, определенные на некоторых случайных событиях и принимающие числовые значения. В качестве типичного для социолога случайного события является выбор респондента. Случайными величинами могут служить признаки, определенные для этих респондентов. Выберем такой признак, как возраст: разные значения возраста (18, 24, 36,. .. лет) — разные значения нашей случайной величины. Случайная величина может быть и многомерной, когда ей отвечает несколько признаков, а ее значениями являются сочетания чисел — значений рассматриваемых признаков. Скажем, если наряду с возрастом мы будем учитывать пол (0 — мужчина, 1 — женщина) и зарплату (в рублях), то в качестве значений нашей трехмерной случайной величины могут выступать тройки чисел: (18, 0, 524), (36, 1, 1 200). При этом для каждой совокупности должна быть определена вероятность того, что, обследуя респондентов, социолог встретит значение из этой совокупности. Вероятностью события называют некоторую числовую характеристику степени возможности его появления в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях.

Совокупность вероятностей встречаемости значений рассматриваемой случайной величины называется отвечающим ей распределением вероятностей, или просто ее распределением. Функция, задающая для определенных наборов значений случайной величины отвечающую им вероятность, называется функцией распределения случайной величины. На практике часто используется т.н. функция плотности вероятности, определяющая вероятность встречаемости каждого значения случайной величины (нормальное распределение, имеющее вид «колокола»).

Саму вероятность исследователь никогда не наблюдает и не может измерить. Это продукт нашего мышления, абстракция. Вероятность присуща генеральной совокупности, понятие которой также является абстракцией. Вместо вероятности исследователь обычно имеет дело с ее выборочной оценкой — относительной частотой встречаемости события. Чтобы было возможно использование аппарата математической статистики, необходимо частотные выборочные распределения расценивать как выборочные представления генеральных распределений вероятностей. Каждое такое распределение ассоциируется со случайной величиной.

Например, для выборки из 10 респондентов выборочное частотное распределение, отвечающее случайной величине «Удовлетворенность трудом», будет иметь вид, представленный табл.1. С помощью тех же данных можно рассчитать и двухмерные распределения, одно из которых приведено в табл. 2 (для пары признаков).

Таблица 1

Выборочное представление частотного распределения случайной величины «Удовлетворенность трудом»

Значение признака	1	2	3	4	5
Частота встречаемости Значения, %	30	30	10	10	20
Выборочная оценка вероятности Р встречаемости значения	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Таблица 2

Выборочное представление частотного распределения двухмерной случайной величины («Пол», «Удовлетворенность трудом»)

Пол	Удовлетворенность					Итого
	1	2	3	4	5
1	3	1	0	1	1	6
2	0	2	1	0	1	4
Итого	3	3	1	1	2	10

Математическая статистика позволяет выявить широкий круг статистических закономерностей (наборов параметров вероятностных распределений одномерных и многомерных случайных величин): меры средней тенденции, разброса значений случайных величин, связи между признаками и т. д. Результат, скажем, регрессионного анализа можно рассматривать как совокупность коэффициентов регрессии, которые в конечном итоге тоже являются некоторыми параметрами исходного многомерного распределения и т. д. Выборочные оценки параметров, рассчитанные на основе частотных распределений, называются статистиками.

Перейти от статистик к закономерностям генеральной совокупности можно, используя методы математического характера. Основные методы математической статистики обычно делят на две группы:

• методы статистической оценки параметров (способы расчета выборочных значений параметров и перехода от выборочных значений к генеральным; математическая статистика говорит о том, какими качествами эти оценки должны обладать, чтобы как можно более походить на их генеральные прообразы, и каким образом надо строить «хорошие» статистики, отражающие параметры вероятностных распределений);

• методы проверки статистических гипотез (оценка степени правдоподобности гипотезы о наличии некоторых соотношений между случайными величинами в генеральной совокупности на основании расчета определенных характеристик соответствующих выборочных распределений).

Правила переноса результатов с выборки на генеральную совокупность базируются на рассмотрении некоторых выборочных статистик как случайных величин и изучении определенных параметров их вероятностн.