Политропный процесс.

Обобщенный процесс для идеального газа, включающий ряд термодинамических процессов как частные случаи, подчиняющийся уравнению

pvⁿ = const ,

называют политропическим процессом, n – показатель политропы.

n = 0 – изобарный процесс, n   – изохорный процесс (v = const),

(pvⁿ = pv₀ⁿ  p^1/nv = p^1/nv₀  v  v₀ = const при n  )

n =  – адиабатный процесс, n = 1 – изотермический процесс.

Политропный процесс характеризуется постоянной теплоемкостью C_n . Это второе (независимое) определение политропного процесса. Для идеального газа можно получить соотношение (получим на семинаре)

(2)

Для теплового эффекта по второму определению политропного процесса, имеем

q_n = C_nT .

Соответственно для изменения внутренней энергии и работы имеем

u = C_vT , l_n = q_n – u = (C_n – C_v)T = ,

где учли формулу (2), уравнение Менделеева-Клапейрона и равенство T = T₂ – T₁ . В случае адиабаты C_n = 0 , имеем n =  .

Уравнения для работы получаются из соответствующих уравнений для адиабатного процесса заменой   n .

Дифференциальные уравнения идеального газа.

Для идеального газа имеем два соотношения: pv = RT и Tds = du + pdv 

ds = C_vdT/T + Rdv/v или ds = C_pdT/T – Rdp/p . Здесь учтена зависимость для внутренней энергии u = C_vT и соотношение Майера C_p = C_v + R .

Интегральный вид.

При достаточно высоких температурах выполняются соотношения: C_v = const , C_p = const 

s = s₂ – s₁ = C_vln(T₂/T₁) + Rln(v₂/v₁) , s = s₂ – s₁ = C_pln(T₂/T₁) – Rln(p₂/p₁) .

Частные случаи:

v = const , s = C_vln(T₂/T₁) ; p = const , s = C_pln(T₂/T₁) .

При s = 0 (адиабатный процесс) получаем формулу pv^ = const .

Первый закон термодинамики для потока вещества.

Пусть идеальный, нетеплопроводящий газ ( = 0 ,  = 0 ,  – коэффициент динамической вязкости,  – коэффициент теплопроводности) движется в однородном поле тяжести. В каждом сечении S трубки тока (см. рис. 1) выполняется локальное термодинамическое равновесие. Имеем следующий закон сохранения вещества при стационарном течении (уравнение расхода)

Рис. 1.

j = SW = SW/v = const .

За малое время t через любое сечение проходит M = jt количество вещества. Далее находим изменение различных видов энергии в трубке (разность между выходящим и входящим потоком энергии на торцах трубки тока)

E_пот = g(z₂ – z₁)jt ,

E_внут = (u₂ – u₁)jt ,

–E_внеш = W_внеш = F₁l₁– F₂l₂ = (p₁S₁)(W₁t) – (p₂S₂)(W₂t) = –(p₂v₂ – p₁v₁)jt .

Величина W_внеш – работа внешних сил давления над газом за промежуток времени t , заставляющих его двигаться. В идеальной жидкости (газе) через боковую поверхность трубки обмена механической энергии нет. Из баланса энергии для вещества между сечениями S₁ и S₂ находим выражение для подведенной теплоты qjt после сокращения на величину jt :

где учтено равенство h = u + pv . В дифференциальной форме имеем

dq = WdW + gdz + dh . (1)

Соотношение (1) показывает, почему в энергетическом балансе даже при медленных течениях (пренебрежении слагаемым WdW) и отсутствии перепада высоты dz = 0 используется энтальпия (dq = dh), а не внутренняя энергия, как это реализуется при отсутствии потоков (например, в периодических процессах).

Отметим, что при движении работа сил давления не равна pdv . Давление меняется от точки к точке и это существенно. При наличии потока вещества процесс не будет квазистатическим (обратимым) так как равновесие нарушено. Отметим также, что при выводе уравнения (1) не учтены возможные работы технических устройств и сил трения (идеальная жидкость). В ТТ уравнение (1) дополняют соответствующими слагаемыми: l_техн – технической работой и работой сил трения l_трен и используют следующее уравнение

q = WdW + gdz + du + d(pv) + l_техн + l_трен .