Производная по направлению и градиент функции n-переменных

Пусть z= в D Еⁿ, M₀=(х₁,х₂,...,х_n)-внутренняя точка

Выберем в точке M₀ произвольное направление.

Δ

M₀

M₁

Cделаем произвольный шаг по выбранному направлению и получим точку M₁.

Назовем приращением по направлению l следующую разность:

Определение:

Назовём производной по направлению l от функции в точке следующую величину:

lim

(MM₀)

П роизводная по направлению обозначается:

M₀

Характеризует скорость изменения функции в точке вдоль выбранного направления.

Отметим:

Поскольку в точке можно выбрать бесконечно много направлений, то производных по направлению в точке , вообще говоря, бесконечно много.

Возникает вопрос, по какому направлению в точке функция меняется быстрее всего.

Определение:

Градиентом функции в точке называется n-мерный вектор, по направлению которого производная в точке максимальна.

М₀

= max, т.к =

M₀

Теорем (связь между grad и производной по направлению)

Д ля любого направления l в точке производная по направлению ровна:

= f

M₀ M₀

( )

Теорема

Пусть в области D задана, декартова прямоугольная система координат.

П усть - дифференцируема в точке M_0, тогда справедливо соотношение:

= ( , ,… , )

М₀ x₁ M₀ x₂ M₀ x_n M₀

Теорема:

М аксимальная из всех производных по направлению в точке М₀ равна модулю градиента:

max =| |

M₀ M₀

Пример:

z=x₁ x₂ x₃² +x₂ x₃

M₀(2,1,-1) M₁(3,5,0)

Н айти:

1)gradf 2) max 3) ,

М₀ М₀ М₀

z^’x₁=x₂x₃²

z^’x₂=x₁x₃²+1

z^’x₃=2x₁x₂ x₃+1

z ^’x₁ = 1

M₀

z ^’x₂ = 3

M₀

z ^’x₃ = -5

M₀

= ( 1,3, -5)

M₀

2) max =|1,3,-5|=

3) =

l =M₁ –M₀=(1,4,1)

=  = (1,3,-5) = =

M₀

По направлению l в точке М₀ функция возрастает со скоростью ,при этом - эта скорость не является максимальной т.к. l- не совпадает с направлением градиента

§6

Поверхность уровня функции n-переменных.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-мерного пространства. Пусть значение функции в точке М₀=С. Поверхностью уровня называется такая поверхность в n-мерном пространстве, которая проходит через точку М₀ ,и для которой значение функции в любой точке равно С.

z=f(M)=f(х₁, х₂,…, х_n) в D Еⁿ

f (M₀)=C , M₀ D

f(M)=C M поверхности

D f(M)=С

М₀ f(M₁)=С

М f(M₂)=С

М₂ М₁ и т.д.

Уравнение поверхности уровня:

f(M)=С

Пример:

z=x₁² +x₂² +x₃²

Уравнение поверхности уровня:

z=C  x₁² +x₂² +x₃²=C – сфера R=

z=х₁ х₂

У равнение поверхности уровня:

х₁ х₂=C – гипербола

Отметим:

В двухмерном пространстве поверхность уровня становится обычной линией. Её называют «линией уровня»

Теорема:

Градиент в точке M₀ перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.

grad f

М₀

М₀ f(M)= f(M₀)=С

Пример:

z=x₁² +x₂² M₀(1,2)

1)Найти поверхность уровня через точку M₀.

2)Градиент в точке M₀.

z(M₀)=5=С

x₁² +x₂² =5 – линия уровня

f =(2,4)

М₀

х₂

2 М₀

1 х₁

§7