Конспект Лекций по Математике 4

1. Теория функций нескольких переменных

2. Дифференцированные функции

3. Кратные интегралы

§1

Понятие об n-мерном пространстве. И о функции нескольких переменных

Определение:

n-мерной точкой называется любая упорядоченная совокупность из n вещественных чисел

М=(х₁,х₂,...,х_n).

числа

Указанные числа часто называют координатами точки .

М=(3;2;-1;0)- четырёх мерная точка.

Множество всех n- мерных точек называется n- мерным координатным пространством

n-мерное координатное пространство называется n- мерным Евклидовым пространством, если для любых двух точек этого пространства существует расстояние между ними

Расстояние

Евклидово пространство Еⁿ

М₁=(1;2;4;0)

М₂=(-1;0;3,5)

= =

В n-мерном пространстве вводятся следующие важные множества:

1)Открытый n-мерный шар радиусом R с центром в точке М₀

{M} Еⁿ : М <R

х₂

М₀

х₁

2) Закрытый n-мерный шар

{M} Еⁿ : М ≤R

х ₂

М₀

х₁

3)n-мерная сфера

{M} Еⁿ : М =R

х ₂

R

M₀

Х₁

4. М-внутренняя точка {M} Еⁿ

х₂ М

М₀

х₁

5)М₀-внешняя точка множества {M} Еⁿ

Существует такой n- мерный шар, который не принадлежит множеству М.

х₂

М₀

М

х₁

5) М₀ – Граничная точка {M} Еⁿ

х ₂

М₀

М

х₁

7) Множество всех граничных точек называется границей множества М

8)Множество М n-мерного пространства называется открытым, если все его точки внутренние.

х₂

М

х₁

9) Множество М называется закрытым, если в него входит ещё и его граница.

10) Множество М называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором n-мерном шаре.

х ₂

М

х₁

11)Множество М называется неограниченным, если в никакой шар оно не влезает.

12) {M} Еⁿ – называется связные если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой целиком лежащей в этом множестве.

х₂

L

M

х₁

х ₂

Не связная

х

13)Множество называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить n- мерным отрезком, целиком лежащим в этом множестве.

х ₂

Не выпуклое

х₁

х ₂

х₁

14) n-мерной областью называется открытое связное множество n-мерного пространства.

15) U_ɛ(М₀) (эпсилон окрестностью n-мерной точки М₀)-называется n-мерный шар радиуса ɛ(эпсилон) с центром в точке М_0.

Определение:

Пусть в n-мерном пространстве дана некоторая область D Еⁿ если каждой n-мерной точке области D по некоторому правилу f ставится в соответствие некоторое число z, то говорят что в области D задана функция n-мерных точек или функция n-переменных и обозначают:

D Еⁿ М D z R

Z= (М) или z=f(х₁,х₂, х₃,...,х_n)

D

М f

Z= (М

Еⁿ

Областью D называют областью определения функции.

Задаются функции n-мерных переменных как правило аналитически- формулой содержащей координаты n-мерной точки.

Пример:

z= Внешность четырехмерного шара + четырехмерная сфера

D(z):

z=ln(х₁+х₂+ х₃-5)

D(z): х₁+х₂+ х₃>5- трёхмерное полупространство без плоскости.

Графиком функции n-переменных является поверхность в n+1 мерном пространстве .

Графически можно проиллюстрировать только функцию двух переменных. Её графиком является обычная поверхность в трехмерном пространстве.

Пример:

z=

D (z): ≤ 9 R=3

x₃(z)

z=

3 D 3

х₁ х₂

z=

D (z):x₁Ox₂ х₃

z =

х₁ х₂

§2

Предел и непрерывность функции n-переменных.

Определение предела и непрерывности функции n-переменных формально ничем не отличается от случая функции одной переменной.

lim f(M)=A  U_ɛ(A) (M₀): M (М₀)  f(M) U_ɛ(A)

MM₀

f(M) непрерывна в точке M₀  lim f(M)= f(M₀)

MM₀

х₂

M

х₁

Для функции n-переменных теряет смысл теорема об односторонних пределах. О существовании предела можно говорить тогда, и только тогда, когда его значение не зависит от пути стремления точки М, к точке М₀, а таких пути всегда бесконечно много.

На первый план выходит задача не о вычислении предела, а о его существовании.

Даже в простейших примерах могут возникнуть трудности.

Пример:

z= М₀(0;0)

lim =

MM₀

x₂

M

x₂=kx₁

0. x ₁

lim =

x₁0

Значение предела зависит от пути  предела или вообще

Поскольку условие существования предела очень жёсткие- все понятия связаны с пределом усложняются именно с точки зрения непрерывности, дифференцирования и интегрирования.

Все основные теоремы о пределах и непрерывностях сохраняются, но каждый раз надо требовать существования всех предельных переходов.

Например, при изучении непрерывности функции может быть непрерывна по каждой переменной в отдельности, но иметь разрыв по совокупности переменных.

§3

Частные производные функции n-переменных.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-ого пространства, пусть координаты имеют вид.

z=f(M): D Еⁿ, М- внутренняя точка. M₀( )

Придадим независимое приращение координате х_1, а остальные координаты оставим без изменения

Назовём частным приращением по координате х₁ следующую разность:

Δ х₁ f(M₀)= f( + Δ х₁ )- f(M₀)

Частной производной по переменной х₁ назовём следующее соотношение:

lim

Δ х₁0

Обозначается частная производная следующим образом:

f^'’ = z’ или

x₁ M₀ x₁ M₀ M₀

Абсолютно аналогично можно ввести частную производную по любой переменной:

f'’x₂ , f'’ x₃ ,… , f'’ _xn

Каждая частная производная характеризует скорость изменения функции вдоль соответствующей координатной оси.

Все правила взятия производных остаются в силе.

z=arctg(x₁+x₁²)

z’x₁= 1, z’x₂= 2 x₂,

§4

Дифференцируемость функций n-переменных. Линеаризация функций.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-ого пространства, точка М₀ внутренняя точка. Придадим независимое приращение каждой координате точки М₀.

M₀= ( _, )

Δ х₁ Δ х₂ Δ х_n

Получим новую точку M₁

M₀= ( + Δ х_1, )

Назовём полным приращением функции в точке M₀ следующую разность:

Δf(M₀)= f(M₁) -f(M₀)

Функция z= f(M)- называется дифференцируемой в точке M₀, если справедливо следующее соотношение:

Расстояние

Δf(M₀)= +о( M₀, M₁)) «о» более высокого порядка, чем M₀, M₁)

М₁М

Полн. Сумма.

Приращ. Слагаем.

Относит.

Приращ.

Оргум. Δ х_i

=const

Теорема (необходимое условие дифференцируемости)

Если функция дифференцируема в точке M₀, то в этой точке существуют все частные производные при этом:

A ₁= f ' ; A₂= f ' ,…, A_n= f '

x₁ M₀ x₂ M₀ x_n M₀

Теорема (достаточное условие дифференцируемости)

Если у функции в точке M₀ и её окрестности существуют все частные производные, при чём они непрерывны в точке M_0, то функция дифференцируема в точке M₀.

Определение:

Сумма слагаемых линейных относительно приращения аргументов в основном соотношении называется полным дифференцированием в точке M₀ и обозначается df(M₀).

Если z= f(M) дифференцируема в точке M₀ ,то df(M₀)

x_i M₀

Замечание:

Как и для функции одной переменной приращения независимых переменных отождествляют с их дифференциалами:

= d ; = d ; = d

df(M₀)=

x_i M₀

Если приращение аргументов невелики (работаем в окрестности точки M₀), о- малое можно не замечать

о ( M₀, M₁)), тогда справедливо приближённая формула:

f(M₀) df(M₀)



f(M) +d f(M₀) M U(M₀)  f(M₀)+ (x_i - x_i⁰) в U(M₀)

x_i M₀

Можно назвать линеаризацией функции в области точки M₀

Пример:

z=x₁ x₂²+x₂ x₃²+ x₁³

M₀=(1,2,3)

z ^’x₁=x₂²+3x₁²

z^’x₂=2x₁x₂+x₃² непрерывна в U(M₀) z= - дифференцируема в точке M₀

z^’x₃=2x₂x₃

z^’ =7; z^’ =13; z^’ = 12.

x₁ M₀ х² M₀ х₃ M₀

df(M₀)= 7d +13d +12d =7( -1)+13( +12(

f(M₀)=23

f(M) 23+7( )+13( +12( , в U(M₀)

§5