Признак сравнения 3.

Пусть А= , В= , a_n>0, b_n>0.

тогда, если ряд B сходится, то и ряд A сходится.

Доказательство:

После почленного перемножения получим:

так как a₁/b₁=const, и B сходится,

то и А сходится.

Признак Куммера.

Пусть , a_n>0 ( nn0), и {b_n} последов-ть чисел, b_п>0 и

, и  , тогда, если δ>0, то ряд сходится, если δ<0, то ряд расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Доказательство:

1)δ>0, выберем =δ/2 тогда, по определению предела,

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1>δ-=δ/2 nn₀

обозначим c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1>δ*a_n+1/2

и докажем сходимость ряда , так как c_n=a_nb_n-a_n+1b_n+1= δ*a_n+1/2>0, то

a_nb_n>a_n+1b_n+1 , значит, {a_nb_n} монотонно убывающая, ограниченная нулём последовательность.

S_n = c₁+…c_n = (a₁b₁-a₂b₂)+(a₂b₂-a₃b₃)+…+(a_nb_n-a_n+1b_n+1) =

= a₁b₁-a_n+1b_n+1

значит, ряд сходится, тоже сходится (по признаку сравнения 1), т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A сходится.

2) δ<0 тогда,

b_n*a_n/a_n+1-b_n+1<0 => , nn₀, значит

по условию ряд 1/b_n – расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и исследуемый ряд A.

Следствие 1 (признак Даламбера).

Возьмём b_n=1, тогда

Если δ>0~<1

δ<0~>1

Следствие 2 (признак Раабе)

Если , то

Пусть b_n=n

, ,

обозначим α=δ+1, тогда , значит при α>1 (δ>0) ряд сходится, при α<1 (δ<0) расходится.

Следствие 3.

=> A – расходится.

Применим к исследуемому ряду признак Куммера (b_n=n*ln(n) (доказательство расходимости данного ряда см. ниже)). Тогда

b_na_n/a_n+1–b_n+1=n*ln(n)*(1+1/n+_n)–(n+1)ln(n+1)=

(n+1)(ln(n)–ln(n+1))+n*ln(n)*_n= -n*ln(1+1/n)–ln(1+1/n)+n*ln(n)*_n -1, т.к. первое из слагаемых стремится (при n стремящемся к бесконечности) к -1, второе к 0, и 3 к нулю (т.к.ln(n)/n-> к 0).

Из доказанных выше признаков Даламбера, Раабе и следствия 3 получаем:

Признак Гауса. (без доказательства)

Пусть

Тогда,

1. β<1 A – расходится.

2. β>1 A – сходится.

3. β=1 α≤1 A – расходится.

α>1 A – сходится. Доказательство следует из следствий 1- 3.

Пример:

1-α>1 ~ α<0, A – сходится.

1-α<1 ~ α>0, A – расходится.

При α = 0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно сходится.

Интегральный признак. (Коши-Маклорена)

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при (начиная с некоторого x). Тогда ряд ~

Доказательство:

Лемма. Пусть A_n=a₁+…+a_n — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда A_n<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно убывающая и ограниченная последовательность.

Тогда , или . Поэтому если сходится, то

. Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное , выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Пример:

~ => ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.

Расходимость ряда n*ln(n)

=> ряд расходится.