Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Чернова Н.И. Лекции по математической статистике

.pdf
Скачиваний:
70
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.29 Mб
Скачать

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 81

На самом деле в определении 14 речь идет, конечно, не об одном интервале, но о последовательности интервалов, зависящих от объема выборки n.

Замечание 11. Случайны здесь границы интервала (θ, θ+), поэтому читают формулу Pθ < θ < θ+) как «интервал (θ, θ+) накрывает параметр θ», а не как «θ лежит в интервале...».

Замечание 12. Знак «>» 1− ε обычно соответствует дискретным распределениям, когда нельзя обязаться добиться равенства: например, для ξ B1/2 при любом x равенство P (ξ < x) = 0,25 невозможно, а неравенство имеет смысл:

P (ξ < x) > 0,25 для x > 0.

Если вероятность доверительному интервалу накрывать параметр в точности равна 1−ε (или стремится к 1 − ε), интервал называют точным (или асимптотически точным) доверительным интервалом уровня доверия 1 − ε.

Прежде чем рассматривать какие-то регулярные способы построения точных и асимптотических ДИ (доверительных интервалов), разберем два примера, предлагающих очень похожие способы. Далее мы попробуем извлечь из этих примеров некоторую общую философию построения точных и асимптотически точных доверительных интервалов. Начнем с нормального распределения как с наиболее важного и часто встречающегося.

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 82

Пример 23. Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из нормального распределения Na,σ2 , где a IR — неизвестный параметр, а σ > 0 известно. Требуется построить точный ДИ для параметра a уровня доверия 1 − ε.

Вспомним, что нормальное распределение устойчиво по суммированию: доказать бы!

Свойство 6. Пусть ξ1 имеет нормальное распределение Na121 , ξ2 имеет нормальное распределение Na222 , и эти случайные величины независимы. Тогда η = bξ1 + cξ2 + d имеет нормальное распределение с параметрами

E η = b a

1

+ c a

2

+ d,

D η = b2σ2

+ c2σ2.

 

 

 

1

2

Поэтому

Xn

 

 

Xi имеет распределение

Nna,nσ2 ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 nXi − na имеет

 

распределение N0,nσ2 ,

 

P1

X − na

 

 

 

X − a

 

 

i

 

= n

 

 

имеет распределение N0,1.

 

σ

 

Итак, величина η = nX −σ a имеет стандартное нормальное распределение. По заданному ε (0, 1) найдем число c > 0 такое, что P (−c < η < c) = 1 − ε.

 

 

 

Число c — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения:

 

 

 

P (−c < η < c) = Φ0,1(c) − Φ0,1(−c) =

 

 

 

 

 

= Φ0,1(c) − (1 − Φ0,1(c)) = 2Φ0,1(c) − 1 = 1 − ε,

Оглавление

 

или Φ0,1(c) = 1 − ε .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

JJ

II

 

Напоминание:

 

 

 

 

 

 

 

J

I

Определение 15.

Пусть распределение

F с функцией

распределения F абсолют-

но

непрерывно.

Число τδ называется

квантилью уровня δ распределения F, если

 

 

На стр. ...

из 179

F(τδ) = δ. Если функция F монотонна, квантиль определяется единственным образом.

Назад

 

 

 

 

 

Во весь экран

 

Итак, c = τ1−ε/2, или −c = τε/2 (квантили стандартного нормального распределения).

Уйти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − ε

 

Стр. 83

 

 

ε/2

ε/2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

−c

c

 

 

 

Рис. 7: Плотность стандартного нормального распределения и квантили.

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 84

Разрешив неравенство −c < η < c относительно a, получим точный доверительный интервал

1 − ε = Pa(−c < η < c) = Pa

−c <

n

 

σ

 

< c! =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X − a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Pa X −

 

.

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

< a < X +

 

 

 

 

 

 

 

n

n

Можно подставить c = τ1−ε/2:

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

 

= 1 − ε.

 

 

Pa X −

n

< a < X +

 

 

 

 

 

 

τ1−ε/2

σ

 

 

 

 

 

 

τ −ε/2

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, искомый точный доверительный интервал уровня доверия 1 − ε имеет вид

X −

1n

, X +

n

 

.

 

 

 

τ −ε/2

σ

 

 

τ1−ε/2

σ

 

Вопросы, на которые стоит себе ответить.

1.Зачем мы брали симметричные квантили? Почему не брать границы для η

вида P (τε/3 < η < τ1−2ε/3) = 1 − ε? Изобразить эти квантили на графике плотности. Как изменилось расстояние между квантилями? Как изменится длина ДИ?

2.Какой из двух ДИ одного уровня доверия и разной длины следует предпочесть?

3.Какова середина полученного в примере 23 ДИ? Какова его длина? Что происходит с границами ДИ при n → ∞?

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 85

Пример 24. Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из показательного распределения Eα, где α > 0. Требуется построить асимптотический (асимптотически точный) ДИ для параметра α уровня доверия 1 − ε.

Вспомним ЦПТ:

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

Xi − n EαX1

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X − 1/α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

αX − 1

η,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n DαX1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где случайная величина η имеет стандартное нормальное распределение.

По определе-

нию слабой сходимости, при n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<→ ∞ Pα(−c < η < c) = 1 − ε

при c = τ1−ε/2.

 

 

c < n

 

αX

 

1

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

То есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pα −τ1−ε/2 <

 

 

 

− 1 < τ1−ε/2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

αX

+ √n X !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Pα

 

X

− √n X < α < X

 

1 − ε при n

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

τ1−ε/2

 

1

 

 

τ1−ε/2

 

 

 

→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

n X

,

X + √n X ! .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

τ1−ε/2

 

1

 

 

τ1−ε/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 86

Сформулируем общий принцип построения точных ДИ:

1.Найти функцию G(X, θ), распределение которой G не зависит от параметра θ. Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ при любом фиксированном X.

2.Пусть числа g1 и g2 — квантили распределения G такие, что

1 − ε = Pθ (g1 < G(X, θ) < g2).

3.Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ (если это возможно), получим точный ДИ.

Совершенно аналогично выглядит общий принцип построения асимптотических ДИ:

1.Найти функцию G(X, θ), слабо сходящуюся к распределению G, не зависящему от параметра θ. Необходимо, чтобы G(X, θ) была обратима по θ при любом фиксированном X.

2.Пусть g1 и g2 — квантили распределения G такие, что

Pθ (g1 < G(X, θ) < g2) → Pθ (g1 < η < g2) = 1 − ε.

3.Разрешив неравенство g1 < G(X, θ) < g2 относительно θ, получим асимптотический ДИ.

Y(n) = max{Y1, . . . , Yn} =
max {X1, . . . , Xn} − 1 =
θ

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 87

Замечание 13. Часто в качестве g1 и g2 берут квантили уровня ε/2 и 1 − ε/2 распределения G. Но, вообще говоря, квантили следует выбирать так, чтобы получить наиболее короткий ДИ.

Пример 25. Попробуем, пользуясь приведенной выше схемой, построить точный доверительный интервал для параметра θ > 0 равномерного на [θ, 2θ] распределения.

Мы знаем, что если Xi имеют распределение Uθ,2θ, то Yi = Xθi − 1 имеют распределение U0,1. Тогда величина

X(n) − 1 = G(X, θ)

θ

распределена так же, как максимум из n независимых равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин, то есть имеет не зависящую от параметра θ функцию распределения

 

 

 

 

 

0,

y < 0

F

Y(n)

(y) = P

(η < y) =

yn, y

 

[0, 1]

 

θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любых положительных g1 и g2

 

1,

y > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pθ (g1 < G(X, θ) < g2) = Pθ g1 <

X(n)

− 1 < g2 =

 

 

 

 

θ

< θ < g1 + 1

 

. (14)

 

 

= Pθ

g2 + 1

 

 

 

 

X(n)

 

X(n)

 

 

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 88

Длина доверительного интервала равна X

 

(g

 

−g

 

)/ (g

 

+1)(g

 

+1)

и уменьшается

с ростом g1 и g2 и с их сближением.

(n) ·

 

2

 

1

 

1

 

2

 

 

Плотность распределения Y(n) на отрезке [0, 1] равна nyn−1 и монотонно возрастает. Поэтому самые большие значения квантилей g1 и g2 при самом маленьком расстоянии между ними и при фиксированной площади под графиком плотности достигается выбором g2 = 1, а g1 такого, чтобы 1 − ε = Pθ(g1 < Y(n) < 1).

Pθ(g1 < Y(n) < 1) = FY(n) (1) − FY(n) (g1) = 1 − gn1 = 1 − ε, т. е.

Подставим найденные квантили в (14):

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 +

ε

 

 

n

 

 

 

X(n)

 

X(n)

1 − ε = Pθ

 

ε < Y

(n)

< 1 = Pθ

 

 

< θ <

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1 = n ε.

.

Упражнение. Можно ли, пользуясь схемой примера 23, построить точный ДИ для σ при известном a, если разрешить неравенство −c < η < c в (13) относитель-

но σ? Можно предположить, например, что X−a > 0. Чем плох интервал бесконечной длины? А получился ли у Вас интервал бесконечной длины?

Из упражнения видно, что функция G вида n X − a не годится для построения

σ

точного ДИ для σ при известном a, а тем более при неизвестном a. В следующей главе мы займемся поиском подходящих функций. Следующий пример (как и пример 24) показывает, что ЦПТ дает универсальный вид функции G для построения асимптотических ДИ.

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 89

Пример 26. Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из распределения Пуассона Пλ, где λ > 0. Требуется построить асимптотический ДИ для параметра λ уровня доверия 1 − ε.

Вспомним ЦПТ:

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

Xi − nEλX1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

η,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nDλX1

По

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

где η имеет стандартное нормальное распределение.

 

 

 

определению слабой сходимо-

сти, при n → ∞

 

 

 

 

 

 

 

< c!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X − λ

 

Pλ(−c < η < c) = 1 − ε при c = τ1−ε/2.

Pλ −c < n

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но разрешить неравенство под знаком вероятности относительно λ не просто — получа-

ется квадратное неравенство из-за корня в знаменателе. Не испортится ли сходимость,

если мы заменим

 

на

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

X

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По свойствам слабой сходимости, если ξ

 

1 и η

 

 

η, то ξ

n

η

 

η. Оценка

λ =

 

состоятельна, поэтому

 

 

 

 

 

 

p n −→

 

 

 

 

n

 

 

n

 

X

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−→ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

· n

 

 

 

 

 

=

n

 

 

 

 

 

 

η.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

X − λ

 

 

 

 

X − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

Оглавление

JJ II

J I

На стр. ... из 179

Назад

Во весь экран

Уйти

Стр. 90

Поэтому и

Pλ −τ1−ε/2

< n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< τ1−ε/2!

 

Pλ(−τ1−ε/2 < η < τ1−ε/2) = 1 − ε.

 

X

 

 

 

 

 

 

 

X − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разрешая неравенство под

знаком вероятностиотносительно λ, получим

 

Pλ

 

 

 

τ1−ε/2

 

 

 

< λ <

 

 

+

 

τ1−ε/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

1 − ε при n

→ ∞

 

X

X

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Итак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ1−ε/2

 

 

 

 

 

τ1−ε/2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

,

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Вместо ЦПТ для построения асимптотических ДИ можно использовать асимптотически нормальные оценки (что по сути — та же ЦПТ): если θ — АНО для параметра θ с коэффициентом σ2(θ), то

G(X, θ) = n θ − θ η, σ(θ)

где η имеет стандартное нормальное распределение.

Замечание 14. Если σ(θ) в знаменателе мешает, то, как в примере 26, ее можно заменить состоятельной оценкой σ(θ ). Достаточно, чтобы функция σ(θ) была непрерывной во всей области Θ. Требуется лишь ответить себе: почему θ — состоятельная оценка для θ?