Предельные теоремы в схеме Бернулли.

1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

При большом числе испытаний в схеме испытаний Бернулли вычисления вероятностей по формуле Бернулли становится затруднительными.

Попробуйте , например, вычислить

Если n – число испытаний велико, применяются приближенные формулы.

,

где n – число испытаний;

p – вероятность успеха;

q – вероятность неудачи, q = 1 – p .

Значение функции определяются по таблице, приложение №1, контент, тема 12 (Статистические таблицы).

Функция четная, .

- функция плотности стандартного нормального распределения с математическим ожиданием m = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 1.

В Excel эту функцию можно найти в библиотеке функций:

Нормрасп(X;среднее;стандартное_откл;интегральная).

= НОРМРАСП(x;0;1;0)

Искомую вероятность можно вычислить, воспользовавшись функцией НОРМРАСП.

, где

Таким образом, Excel позволяет вычислить эту вероятность, не прибегая к таблицам.

Кроме того искомую вероятность в схеме испытаний Бернулли можно получить при сколь угодно большом числе испытаний n непосредственно по формуле Бернулли.

Задание 2. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится m = 35 раз.

Решение.

a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции плотности стандартного нормального распределения (Приложение 1, контент, тема 12).

1. ;

2. ,

- по таблице;

3.

Здесь значение функции

выбрано из

таблицы приложения 1, контент, тема 12.

Результаты вычислений приведены на рис. 13.

Рис. 13. Исходные данные n = 100, m = 35, p = 0,37, результаты вычисления x и результаты вычисления вероятности

b. Значение функции может быть найдено в Excel с помощью функции НОРМРАСП(x;0;1;0).

Рис. 14. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода данных.

Рис. 15. В ячейке F39 результаты вычисления функции НОРМРАСП(x:0:1;0), значение x = – 0,41425 вводится в формулу с помощью ссылки на ячейку E37.

В ячейку G39 вводится формула как показано далее на рис. 16.

Рис. 16. Строка формул с введенной формулой . Результат вычисления находится в ячейке G39.

c. Использование функции Excel БИНОМРАСП при большом числе испытаний n позволяет обойтись без приближенных формул Муавра-Лапласа и таблиц.

Скопируйте исходные данные задания 2 в ячейки A43 – D43.

В ячейку с именем БИНОМРАСП поместите формулу БИНОМРАСП(x;n;p;0), где

x – число успехов (m);

n – число испытаний;

p – вероятность успеха;

0 или 1 – логическая переменная (0 позволяет вывести вероятность ровно x = m успехов)

Формула БИНОМРАСП выбирается в категории Статистические.

Рис. 17. Диалоговое окно функции БИНОМРАСП с заполненными полями ввода

Рис. 18. Вычисление вероятности события в схеме испытаний Бернулли с использованием формулы БИНОМРАСП

2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли заключено между m₁ и m₂ (при )

,

где , .

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Для его вычисления используются таблицы функций Лапласа

.

Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

Приближенными формулами Лапласа пользуются в случае, если . Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Задание 3. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится от m₁ = 30 до m₂ = 45 раз.

Решение.

a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции Лапласа.

1.

2.

Значения функций Лапласа выбираются из таблицы ЭУМК, контент, тема 12, приложение 2.

Введите исходные данные задания n = 100 , p = 0,37, q, m₁ = 30, m₂ = 45 и выполните вычисления , как показано на рис. 19.

Рис. 19. Исходные данные с вычисленными значениями x₂ и x₁

По вычисленным значениям x₂ и x₁ найдите в таблице – контент, тема 12, приложение 2 значения функций Лапласа и . Внесите их в ячейки F55 и G55 как показано на рис. 20. В ячейке F57 вычислите вероятность

Рис. 20. В ячейке F57 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием таблиц функции Лапласа

b. Вычисление вероятности в Excel выполняется с использованием функции НОРМРАСП, что позволяет обойтись без таблиц функции Лапласа.

Функции Лапласа связана с функцией НОРМРАСП следующим соотношением

Поместите в ячейку F59 формулу , где , вычисленная ранее и находящаяся в ячейке F53, как показано на рис. 21.

В ячейку G59 поместите формулу , в ячейке G53 находится

В ячейку F60 поместите конечную формулу вычисления вероятности

Рис. 21. В ячейке F60 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функцией НОРМРАСП

с. Этот же результат можно получить, используя функцию БИНОМРАСП, как показано на рис. 22.

Рис. 22. В ячейке F62 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функции

БИНОМРАСП(x₂; n; p;1) – БИНОМРАСП(x₁; n; p;1)

Сравните все полученные результаты и сделайте выводы.

3. Предельная теорема Пуассона

Предельная теорема Пуассона позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет равно m , при

, где .

Задание 4. Найти вероятность того, что в 500 испытаниях успех появится 5 раз, если вероятность успеха в одном испытании p равна 0,025.