Практика 3.
Решение задач, используя аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
Задача.
Для изготовления трех видов продукции используют два вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|
|
|
А |
Б |
В |
|
I |
3 |
1 |
1 |
4 |
II |
1 |
2 |
-6 |
6 |
Цена изделия |
9 |
8 |
12 |
|
Требуется: сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план
Решение.
1. Экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
- число изделий каждого вида.
Целевая функция - это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать.
Ограничения по ресурсам:
2. Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи.
Переменные. Исходная задача содержит два ограничения по сырью I, II. Следовательно, в двойственной задаче две переменные:
y1 - двойственная оценка сырья I или «цена» сырья I;
y2 - двойственная оценка сырья II или «цена» сырья II.
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи.
Необходимо найти такие «цены» yi на сырье, чтобы общая стоимость используемого сырья была минимальной.
Ограничения.
В исходной задаче три переменные, следовательно, в двойственной задаче три ограничения.
В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.
Левая часть ограничений определяет стоимость сырья, затраченного на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенному виду изделия.
Решая графическим методом двойственную
задачу, ролучим: теневые цены сырья I,
II соответственно равны
и L=26.
Примеры. сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план
Практика №4
Тема: «Составление мат.модели и решение линейной оптимизационной задачи»
Задача 1.
Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 70 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 усл.ед. соответственно.
Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей радиоприемников.
Задача №2.
Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой 1000усл.ед. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 усл.ед., а каждая минута телерекламы – в 100 усл.ед. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта продукции, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы.
Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.
Задача №3.
Фирма производит два вида продукции А и В. Объем сбыта продукции В составляет не более 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас второго ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 3 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны 20 и 40 усл.ед. соответственно.
Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.
Задача №4.
Фирма производит два вида хлебобулочной продукции: булки и батоны. Для изготовления продукции используются два исходных продукта: мука и наполнители, расходы которых на 1кг продукции приведены в таблице. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на булки превышает спрос на батоны, не более, чем на 100кг. Кроме того, установлено, что спрос на батоны не превышает 350кг. в сутки. Розничная цена 1кг булки 16 руб., батона – 14 руб.
Какое количество хлебобулочной продукции каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации был максимальным?
Исходный продукт
|
Расход исходных продуктов на 1кг продукции |
Запас, кг |
|
Булка |
Батон |
|
|
Мука |
0,8 |
0,5 |
400 |
Наполнители |
0,4 |
0,8 |
385 |
Ответы: №1 ((60,25), L=2300), №2 ((18,18; 9,09), L=16,36)
№3 ((11.1; 16,7), L=888,9) №4 ((
((11; 17) . огранич. не вып.)
((12, 16) L=880 )