Практика – занятие 1.

Задание Найти ОР и ОДР и определить координаты угловых точек ОДР

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Практика 2. Решение задач на экстремум графическим способом

Задача.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары	Общее количество ресутсов
	1-го вида	2-го вида
1	2	2	12
2	1	2	8
3	4	0	18
4	0	4	12

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден.ед., второго вида - 3 ден.ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом.

Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение.

1. Экономико-математическая модель.

Обозначим через объемы производства соответствующего вида продукции (количество товаров каждого вида).

Целевая функция - это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать

Ограничения по ресурсам:

2. Построение ОДР.

Первое ограничение имеет вид . Найдем пересечение с осями координат. Прямая проходит через точки (0;6) и (6;0).

Второе ограничение имеет вид . Прямая проходит через точки (0;4) и (8;0).

Третье ограничение , решением этого неравенства является полуплоскость ниже прямой .

Четвертое ограничение имеет вид , решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой .

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

3. Построение век тора-градиента и линии уровня.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент V, координатами которого являются частные производные целевой функции. Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (2;3) с началом координат.

Затем построим линию уровня, перпендикулярно вектору-градиенту.

4. Поиск экстремума.

Мысленно перемещаем линию уровня в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она не выйдет из ОДР. Точка, в которой линия уровня покидает ОДР, будет точкой optimum. Находим координаты этой точки. Записываем систему уравнений для линий, пересекающихся в opt точке.

В результате решения системы находим:

Координаты opt точки подставляем в уравнение целевой функции и находим max (f) = 2*4+3*2 = 14 ден.ед.

5.Вывод.

Предприятие получит максимальную прибыль 14 ден.ед. если будет выпускать 4 единицы товаров первого вида и 2 единицы товаров второго вида.

Все другие сочетания объемов выпуска продукции дадут наименьшую прибыль.

Примеры.

Исследовать на максимум и минимум функции, при условии, что на переменные наложены ограничения.

1. Ответ: 9/4 1/2 L=5

2. Ответ: 5/4 5/4 L=-10

3. Ответ: 0 2,5 L=7,5

4. Ответ: 4 2,5 L=-0,5

5. Ответ: 2 3 L=26