17.4 Вопросы для самоконтроля

• Что такое обобщенные скорости системы? В каких единицах они измеряются?

• Что такое обобщенные силы? В каких единицах они измеряются? Каков порядок вычисления обобщенной силы?

• Как математически записываются Уравнения Лагранжа? В чем их преимущества? Каков порядок составления?

ЛЕКЦИЯ №18

18.1 Теория удара. Основные понятия и теоремы

18.1.1 Основные понятия.

У даром называется явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину.

Ударными силами называются силы, под действием которых происходит удар.

Временем удара называется промежуток времени, в течение которого происходит удар.

Ударный импульс равен:

.

Графически изображается заштрихованной площадью под кривой .

Средняя ударная сила равна:

.

Так как τ мало, то велико, поэтому , а . Поэтому импульсами неударных сил пренебрегают.

Так как τ мало, то считают, что за время удара точки тела не успевают изменить своего положения, поэтому перемещениями точек тел за время удара пренебрегают.

18.1.2 Основные теоремы теории удара:

Теорема об изменении количества движения точки при ударе: Изменение количества движения точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.

,

где и - скорости точки до и после удара.

Теорема об изменении количества движения системы при ударе: Изменение количества движения системы за время удара равно векторной сумме внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

.

Следствие: Если , то , то есть количество движения системы не изменяется, если сумма внешних ударных импульсов равна нулю.

Теорема о движении центра масс системы:

.

Следствие: Если , то , то есть скорость центра масс системы не изменится, если сумма внешних ударных импульсов равна нулю.

Теорема Кельвина (для точки): Работа силы, приложенной к точке за какой-либо промежуток времени равна скалярному произведению импульса силы за тот же промежуток времени на полусумму начальной и конечной скоростей.

.

Теорема Кельвина для системы:

.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе: Изменение кинетического момента системы относительно точки за время удара равно векторной сумме моментов относительно той же точки внешних ударных импульсов приложенных к точкам системы.

.

В проекциях на координатные оси:

;

;

.

Следствия:

Если удар испытывает твердое тело, вращающееся вокруг оси, то, так как ; ,

Для твердого тела .

Если , то - это закон сохранения кинетического момента при ударе.

18.2 Удар точки о неподвижную поверхность

1 8.2.1 Прямой удар.

Удар называется прямым, если скорость точки до удара направлена по нормали к поверхности, скорость точки после удара также направлено по нормали.

Для оценки ударных свойств поверхности служит коэффициент восстановления.

Коэффициентом восстановления называется отношение модулей скоростей после и до удара:

.

Частные случаи:

; - это абсолютно упругий удар;

; - это абсолютно неупругий удар; если поверхность движется, то точка после удара движется вместе с поверхностью;

- это частично упругий удар (упругий удар).

Процесс удара разделяется на две фазы:

1 - Фаза деформации продолжительностью τ₁ от начала удара до момента максимальной деформации тела, принимаемого за материальную точку, в конце фазы скорость точки равна нулю.

2 - Фаза восстановления продолжительностью τ₂ от момента максимальной деформации тела до отделения точки от поверхности.

Общее время удара .

При абсолютно упругом ударе форма восстанавливается полностью; при упругом - частично; при абсолютно неупругом ударе форма не восстанавливается, , - удар состоит из одной фазы.

Со стороны поверхности в первой и второй фазах на тело действует ударный импульс реакции :

; .

По теореме об изменении количества движения при ударе:

.

Это выражение для коэффициента восстановления k при прямом ударе через ударные импульсы S₂ и S₁ за вторую и первую фазы удара. Выражение справедливо и для движущейся поверхности.

Полный ударный импульс за время удара:

.

П

ударный импульс при абсолютно упругом ударе в два раза больше, чем при абсолютно неупругом

ри