6.3 Координатный способ задания движения точки

При координатном способе закон движения точки (уравнения движения точки) в пространстве задается тремя координатами (декартовыми координатами) как функциями времени:

X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t);

на плоскости – двумя координатами:

X = f₁(t); Y = f₂(t);

при прямолинейном движении – одной координатой:

X = f₁(t).

Для получения уравнения траектории точки из уравнений движения исключают время.

Так как , то скорость точки равна:

но

Проекции вектора скорости на оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат по времени.

Модуль вектора скорости равен

.

Вектор образует с осями координат углы, определяемые направляющими косинусами

.

Ускорение точки равно:

.

С другой стороны

Проекции вектора ускорения на оси декартовых координат равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от координат точки по времени.

М одуль вектора ускорения равен:

;

Углы вектора ускорения с осями координат:

.

4. Естественный способ задания движения точки

Для применения естественного способа задания движения точки должна быть известна ее траектория. Траектория может быть задана различными способами:

• уравнениями (возможно с неравенствами), например,

• словесно, например, радиус окружности равен 3м;

• в виде графика в масштабе.

Для задания закона движения точки по известной траектории необходимо:

• в ыбрать на траектории начало отсчета расстояний – точку О и указать направление положительного отсчета (знак «+»);

• выбрать начало отсчета времени t =0, обычно за начало отсчета времени принимают или начало движения или момент времени, когда движущаяся точка М проходит через точку О.

Закон движения точки М по траектории имеет вид:

где - непрерывная дважды дифференцируемая функция, причем это выражение определяет положение точки на траектории, но не пройденный ею путь.

.

Если при , то

.

Если известен закон движения точки в декартовых координатах, то

,

где знак «+» или «–» определяется выбором положительного или отрицательного направления отсчета расстояний по траектории. Это выражение устанавливает связь естественного способа задания движения точки с координатным.

Скорость точки равна:

,

Н о

единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки М, следовательно, скорость точки М направлена по касательной к траектории в сторону движения и равна

.

С овместим с движущейся по траектории точкой М начало подвижной системы координат – оси естественного трехгранника Мtnb. Ось Mt - касательную направим по касательной к траектории в сторону движения точки. Ось Мn – главную нормаль направим перпендикулярно Мt в сторону вогнутости траектории так, чтобы эти оси образовали соприкасающуюся плоскость. Ось Мb- бинормаль направим перпендикулярно соприкасающейся плоскости в сторону, откуда поворот от оси Мt к оси Mn виден против хода часовой стрелки. Образовались еще две координатные плоскости: Mnb - нормальная и Mtb – спрямляющая.

Пусть точка М переместилась в положение М₁. Векторы ее скорости в этих точках образуют угол смежности φ.

,

k – кривизна кривой в точке М,

ρ – радиус кривизны кривой в точке М.

Ускорение точки М равно:

,

н о

, следовательно

.

Вектор ускорения точки М разложен на две взаимно перпендикулярные составляющие лежащие в соприкасающейся плоскости:

- касательное (тангенциальное) ускорение, направленное по касательной к траектории, характеризующее изменение скорости по величине;

- нормальное (центростремительное) ускорение, направленное перпендикулярно касательному в сторону вогнутости траектории, характеризующее изменение скорости по направлению.

Модуль ускорения равен:

Направление ускорения по отношению к нормали определяется углом α:

.

6.5 Частные случаи движения точки

6.5.1 Прямолинейное движение

Так как траектория точки - прямая линия, то r® ¥, и полное ускорение , направлено по прямой так же как и скорость , если точка движется ускоренно и в противоположном направлении, если замедленно. Ускорение меняется только по величине. Если , то точка движется равнопеременно или равнозамедленно или равноускоренно

6.5.2 Равномерное криволинейное движение

Полное ускорение и направлено по радиусу кривизны в сторону вогнутости. Ускорение меняется только по направлению.

6.5.3 Равномерное прямолинейное движение

. Точка движется по прямой с постоянной скоростью . .

6.5.4 Графики равномерного прямолинейного или криволинейного движения имеют вид:

График движения	График скорости	График ускорения

6.5.5 Равнопеременное криволинейное движение

, интегрируем:

При t=0, v=v₀ , C₁=v_{0 ,}

_.

_,

при t =0, С₂=s₀ ,

Закон движения точки при ее равнопеременном криволинейном движении имеет вид:

_.

Если направления векторов скорости и касательного ускорения совпадают, то точка движется равноускоренно, если противоположны – равнозамедленно.

Графики равнопеременного криволинейного или прямолинейного движения точки имеют вид:

График движения		График скорости	График ускорения
			at(a) o
6.6	Вопросы для самоконтроля

• В чем состоит основная задача кинематики?

• Перечислите основные способы задания движения точки.

• Перечислите основные способы задания траектории движения точки.

• Дайте определения понятий: скорость, ускорение, траектория движения.

• Как всегда направлен по отношению к траектории вектор скорости, вектор ускорения?

• Как определяются вектор скорости и ускорения по модулю и направлению при координатном способе задания движения?

• Как задается закон движения точки по траектории при естественном способе задания движения?

• Запишите выражение, связывающее естественный способ задания движения точки с координатным.

• Изобразите оси естественного трехгранника, назовите образованные ими координатные плоскости. Является эта система координат неподвижной?

• Поясните понятия: кривизна кривой, радиус кривизны.

• Докажите математически как ускорение точки может быть представлено суммой нормального и касательного ускорений.

• Как направлены по отношению к траектории движения точки векторы нормального и касательного ускорений? Запишите формулы для определения их модулей.

• Перечислите и запишите формулы для частных случаев движения материальной точки. Покажите графики их движения.

ЛЕКЦИЯ №7