3 Свойства двойственных задач. Основные теоремы двойственности

Теорема 1. Достаточный признак оптимальности.

Если есть допустимое решение Х-задачи, а

есть допустимое решение Y-задачи и при этом , то есть оптимальное решение Х-задачи, а есть оптимальное решение Y –задачи.

Равенство целевых функций прямой и двойственной задач есть достаточное условие оптимальности двух допустимых решений симметричных двойственных задач.

Теорема 2. Основная теорема двойственности.

а) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то вторая также имеет оптимальное решение с тем же значением целевой функции.

Оптимальное решение достигается в точке А.

О птимальное решение достигается в точке В.

б ) Если одна из задач не имеет оптимального решения из-за неограниченности целевой функции (Z ∞ или Т∞), то система ограничений второй задачи несовместна (пустая).

Область допустимых решений неограниченная с конечным числом вершин.

Н айти min T= 2Y₁+5Y₂

ОДР – {ø}

Область допустимых решений – пустая, система ограничений несовместна.

Теорема 3. Условия дополняющей нежесткости.

Пусть ^*(Х₁^*, Х₂^*,…, Х_n^*) есть оптимальное решение Х-задачи, а ^*(Y₁^*, Y₂^*,…, Y_m^*) есть оптимальное решение Y-задачи. В этом случае должны выполняться условия дополняющей нежесткости:

если i-е ограничение Х-задачи оптимальным решением ^* обращается в строгое равенство, то соответствующая переменная Y-задачи будет строго положительна (y_i > 0); если i-е ограничение Х-задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая переменная Y-задачи будет равна нулю (y_i = 0) и наоборот (формулируется аналогично).

На основании теоремы 2 (основной) оптимальное решение Х-задачи однозначно определяет оптимальное решение Y-задачи, при этом симплексный алгоритм, примененный к Х-задаче задает новый алгоритм преобразований коэффициентов Y-задачи, который можно выписать в явном виде и применять для решения исходной задачи линейного программирования. Этот алгоритм называется двойственным симплексным методом.

4 Запись оптимального решение двойственной задачи по оптимальному решению прямой задачи. Краткий анализ оптимального решения прямой задачи

Решая прямую задачу, мы одновременно получаем и решение двойственной задачи. Симплексный метод обладает такой особенностью, что при решении одной из двойственной пары автоматически получается решение другой задачи без дополнительных вычислений Z_max = T_min (значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают).

Оценки дополнительных переменных прямой задачи полностью совпадают со значениями основных переменных двойственной задачи. Эти величины получили название двойственных оценок (объективно-обусловленных оценок) ограниченных ресурсов.

Y_i - условные цены соответствующих ресурсов (теневые цены).

То есть, значение основной первой переменной Y₁ двойственной задачи равно значению оценки дополнительной переменной, введенной в первое ограничение прямой задачи. Значение основной второй переменной Y₂ двойственной задачи равно значению оценки дополнительной переменной, веденной во второе ограничение прямой задачи и т.д.

Значение первой дополнительной переменной двойственной задачи равно значению оценки первой основной переменной прямой задачи. Значение второй дополнительной переменной двойственной задачи равно значению оценки второй основной переменной прямой задачи и т.д.

Коэффициенты a_ij в первой (исходной) симплексной таблице представляют собой технико-экономические коэффициенты. В процессе решения они претерпевают значительные изменения. Из нормативов, характеризующих затраты производственных ресурсов, они превращаются в коэффициенты замещения или пропорциональности.

Каждый из них представляет величину уменьшения (а_ij>0) или увеличения (а_ij<0) соответствующей i-й базисной переменной при введении в базис j-й основной свободной переменной.

Коэффициенты целевой функции C_j характеризуют прямой эффект введения в базис j -й переменной с единичной интенсивностью. В зависимости от смысла той или иной переменной планово-экономической задачи величина Cj может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Величина (для j, не входящих в базис) характеризует косвенный эффект введения в базис j-й свободной переменной. Она показывает, на сколько уменьшится целевая функция за счет изменения базисных переменных при введении в базис j-й небазисной переменной единичной интенсивности.

Разность C_j-Z_j=-_j представляет собой чистый эффект, получаемый при введении в базис j-й переменной. При этом целевая функция возрастает на величину прямого и уменьшается на величину косвенного эффекта.

Коэффициенты последней симплексной таблицы и двойственные оценки ресурсов позволяют исследовать чувствительность оптимального решения к уточнениям исходных условий задачи. В каждом случае изменяется только один параметр, а все остальные остаются на первоначальном уровне. Проведя на основе оптимального плана количественный анализ, можно определить, как изменяется объем производства и другие факторы при изменении условий производства, объемов ресурсов в определенных пределах.

Пример

Записать исходную задачу. Решить симплексным методом, проанализировать коэффициенты последней симплексной таблицы и двойственные оценки.

Рассмотрим следующую задачу: в хозяйстве имеется 200 га орошаемой и 500 га богарной пашни. Предполагается возделывать на этих участках турнепс и подсолнечник на силос. Трудовые ресурсы хозяйства 12000 чел.-дн., ресурс поливной воды – 500 тыс. м³.

Таблица. Эффективность возделывания с.-х. культур.

Показатель	Турнепс		Подсолнечник
	на богаре	на поливе	на богаре	на поливе
1. Затраты труда на 1га, чел.-дн.	40	50	20	30
2. Норма полива, тыс.м3/га	-	1	-	2
3. Выход кормов, ц к.ед./га	30	50	22	60

Определить оптимальное распределение площади пашни, обеспечивающее максимальное производство кормов.

Составим задачу линейного программирования.

Определить значения переменных:

Х₁, га – площадь посева турнепса на богаре;

Х₂, га – площадь посева турнепса на поливе;

Х₃, га – площадь посева подсолнечника на богаре;

Х₄, га – площадь посева подсолнечника на поливе,

которые обеспечат получение максимального значения целевой функции Z, ц к.ед. max Z = 30 Х₁+50 Х₂+22 Х₃+60 Х₄

при условиях:

баланс богарной пашни, га: Х₁+Х₃  500

баланс орошаемой пашни, га: Х₂+Х₄  200

баланс трудовых ресурсов, чел.-дн., 40 Х₁+50 Х₂+20 Х₃+30 Х₄  12000

баланс ресурсов воды для полива, тыс.м³: Х₂+2Х₄  500

Х_j  0, ( j = 14).

Приведем задачу к каноническому виду и занесем в первую симплексную таблицу исходное опорное решение.

Первая симплексная таблица

№1	Cj	0	30	50	22	60	0	0	0	0
Ci	П БП	аi0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	C0
0	X5	500	1	0	1	0	1	0	0	0	-
0	X6	200	0	1	0	1	0	1	0	0	200	I*
0	X7	12000	40	50	20	30	0	0	1	0	400
0	X8	500	0	1	0	2	0	0	0	1	250
Z	j	0	-30	-50	-22	-60	0	0	0	0	Х
						J*

Решим задачу симплексным методом, оптимальное решение получим в четвертой симплексной таблице (задачу решали в полных таблицах).

Последняя симплексная таблица

№4	Cj	0	30	50	22	60	0	0	0	0
Ci	П БП	аi0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
0	X5	200	-1	-1	0	0	1	3/2	-1/20	0
60	X4	200	0	1	0	1	0	1	0	0
22	X3	300	2	1	1	0	0	-3/2	1/20	0
0	X8	100	0	-1	0	0	0	-2	0	1
Z	 j	18600	14	32	0	0	0	27	11/10	0

В таблице приведено оптимальное решение (единственное):

Максимальное количество кормов – 18600 ц к.ед. будет получено при возделывании подсолнечника на силос на богаре на площади 300 га и на поливе на площади 200 га. При этом недоиспользуется 200 га богарной пашни и 100 тыс. м³ воды для полива. Полностью используются трудовые ресурсы (X₇=0) и орошаемая пашня (X₆ = 0). Турнепс на корм не возделывается (X₁ =0, X₂ = 0).

Каждой прямой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие двойственную. Рассмотрим экономический смысл двойственной задачи.

Переменные Y₁, Y₂, Y₃, Y₄ – условные цены соответствующих ресурсов. Необходимо определить оптимальный план ^*(Y₁, Y₂, Y₃, Y₄) при условиях: Y₁+40Y₃  30

Y₂+ 50Y₃ + Y₄  50

Y₁+ 20Y₃  22

Y₂ +30Y₃ + 2Y₄  60

Y_i  0, i = 1 4

min T = 500Y₁+ 200Y₂ + 12000Y₃+ 500Y₄

Условия задачи отражают условия получения запланированной урожайности (чтобы получить плановую урожайность необходимо затратить соответствующее количество ресурсов), а целевая функция – минимальная стоимость используемых ресурсов.

Решим Y-задачу М-методом.

Найти

при условиях:

Y₁+ 40Y₃ - Y₅+ W₁=30

Y₂+ 50Y₃ + Y₄ – Y₆ + W₂ = 50

Y₁+ 20Y₃ – Y₇ + W₃ = 22

Y₂ +30Y₃ + 2Y₄ – Y₈ + W₄ = 60

Y_i  0, i = 1 8 ; W_i  0, i = 1 4

Последняя симплексная таблица М-задачи.

	Cj	0	-500	-200	-12000	-500	0	0		0			0
Сi	П БП	ai0	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5		Y6		Y7	Y8
-12000	Y3	11/10	1/20	0	1	0	0	0		-1/20			0
0	Y6	32	1	0	0	1	0	1		-1			-1
0	Y5	14	1	0	0	1	1	0		-2			0
-200	Y2	27	-3/2	1	0	2	0	0		3/2			-1
Z	 j	-18600	200	0	0	100	0	0		300			200

Так как искусственные переменные W_i = 0, i = 1  4, то их в таблицу записывать не стали.

Сопоставляя конечные симплексные таблицы прямой и двойственной задач можно заметить, что нет необходимости решать их отдельно. Решая прямую задачу, мы одновременно получаем и решение двойственной задачи. Симплексный метод обладает такой особенностью, что при решении одной из двойственной пары автоматически получается решение другой задачи без дополнительных вычислений Z_max = T_min = 18600 (значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают).

Оценки свободных дополнительных переменных полностью совпадают со значениями переменных, вошедших в базис двойственной задачи: Y₁ =₅, Y₂ =₆, Y₃ =₇, Y₄ =₈, (Y₅ =₁, Y₆ =₂, Y₇ =₃, Y₈ =₄).

Эти величины получили название двойственных оценок (объективно-обусловленных оценок) ограниченных ресурсов.

Y_i - условные цены соответствующих ресурсов.

Двойственные оценки имеют определенный экономический смысл: они служат мерой полезности каждого ресурса, включаемого в задачу, при фиксированных условиях.

Это позволяет установить пропорции взаимозаменяемости ресурсов, оценить их важность, эффективность с точки зрения критерия оптимальности, выявить "узкие места" и вскрыть внутренние резервы плана. Рассмотрим двойственные оценки нашей задачи.

Богарная пашня и ресурс поливной воды (x₅ и x₈) недоиспользуются, т.е. их имеется больше, чем нужно, поэтому их оценки равны нулю (У₁ = 0, У₄ = 0). При нулевой оценке ресурса изменение его объема в пределах избыточности не вызовет никаких колебаний в структуре производства и не повлияет нa значение целевой функции. Приобретение лишней единицы избыточного ресурса всегда уменьшает доход хозяйства, так как она остается неиспользованной. Ресурсы, используемые в полном объеме, всегда имеют положительную оценку.

Условия задачи определяют оценку каждого фактора, внутреннюю для данного производства. Следует иметь ввиду, что эта оценка является относительной. Одни и те же производственные факторы для разных предприятий и районов представляют различную ценность.

В нашем примере полностью используются орошаемая пашня и трудовые ресурсы, наибольшее значение имеет ресурс "орошаемая пашня" (оценка ₆ = 27, а ₇ =11/10). Чтобы выяснить, что означает здесь двойственные оценки, рассмотрим экономическое содержание всех показателей симплексной таблицы.

Проведем такой анализ для полученного оптимального плана Х-задачи.

Площадь орошаемой пашни используется в решении полностью (х₆ =0). Пусть небазисная переменная x₆ войдет в базис с единичной интенсивностью: x₆=1 (т.е. недоиспользуется I га орошаемой пашни, ресурс составит 199 га). Это приведет к следующим изменениям в оптимальном плане (см. коэффициенты в столбце x₆ последней симплексной таблицы).

Площадь подсолнечника на орошаемой пашни (x₄) сократится на 1гa (a₂₆=1), площадь подсолнечника на богаре (х₃) увеличится на 3/2 га (a₃₆ = -3/2), недоиспользование богарной пашни (х₅) сократится на 3/2 га (a₁₆ = 3/2), освободится 2 тыс.м³ поливной воды (a₄₆ = -2).

Тогда сокращение посевов х₄ приведет к потерям кормов в размере 60 ц к.ед. (С₄), а за счет увеличения посевов х₃ будет произведено 3/2 * 22 = 33 ц к.ед. (С₃ = 22). В результате производство кормов сократится на 60 - 33 = 27 (ц к.ед,). Это и есть ₆ -оценка данного ресурса. Следовательно, эта оценка показывает, сколько кормов производится в расчете на I га орошаемой пашни (при сложившейся структуре производства) или сколько дополнительной продукции можно будет получить, привлекая дополнительно единицу данного ресурса.

Мы изменяли объем только одного вида ресурса: орошаемой пашни, а объем трудовых ресурсов не менялся. Не повлияют ли изменения в оптимальном плане на использование труда? На каждый гектар подсолнечника, возделываемого при орошении, затрачивается 30 чел./дн., а на богаре - 20 чел./дн., следовательно, при сокращении посевов на орошаемой пашне освобождается 30 чел./дн. труда и их можно использовать для выращивания подсолнечника на площади 1,5 га (1,5x20= 30 чел./дн.). Таким образом, увеличение посевов подсолнечника на богаре будет обеспечено трудовыми ресурсами.

Аналогично можно провести анализ и по коэффициентам переменной х₇ (трудовые ресурсы).

Список индивидуальных данных

Задание 1 Записать двойственные задачи к заданным прямым. Решить прямые задачи симплексным методом и найти решение двойственных задач, используя теоремы двойственности

1. min Z= x1+x2 +3 4x1 + x2  2 x1+x2  6 x1  3 x1 0; x2  0	2. max Z= x1 + x2 +2 x1+ 2x2  2 3x1+ x2  3 x1+x2  4 x1  0; x2  0	3. max Z= 2x1+x2+1 -x1 + 2x2  3 x1+ 2x2  7 x1  0; x2  0
4. max Z= -x1-2x2+5 x1 + x2  1 x2  1 x1  0; x2  0	5. min Z= x2-5 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1  0; x2  0;	6. min Z= -x1-2x2+3 x1 + x2  1 x2  1 x1  0; x2  0
7. min Z= x1 + x2 +4 x1+ 4x2  2 x1+ x2  6 x1  0; x2  0	8. max Z= x1 - x2 +3 x1+ x2  1 x1+ x2  2 x1  0; x2  0	9. max Z= x2+8 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1  0; x2  0;
10. min Z= x2+6 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1  0; x2  0;	11. min Z= 2x1 + x2+7 x1+ x2  3 x1- x2  2 x1  0; x2  0	12. min Z= x1+x2+9 x1 + 4x2  2 x1+x2  6 x1  3 x1  0; x2  0;
13. max Z= 2x1-7 x1 + 2x2  3 2x1+x2  3 x1  0; x2  0;	14. max Z= 2x1 - x2 +5 x1+ x2  4 2x1- x2  1 x1  0; x2  0	15. max Z= x1 + 2x2 +4 x1+ 3x2  3 2x1+ x2  3 x1+x2  4 x1  0; x2  0

Задание 2. Задачу линейного программирования: записать в однородной форме: a₁₁x₁+a₁₂x₂ a₁₀

a₂₁x₁+a₂₂x₂ a₂₀

x₁ 0; x₂ 0;

max Z=C₁x₁+C₂x₂+C₀

Записать двойственные задачи к заданным прямым. Решить прямые задачи симплексным методом и найти решение двойственных задач, используя теоремы двойственности. Решить прямые и двойственные задачи графическим методом и сравнить решения, полученные разными методами. Записать экономический смысл двойственных задач.

Задача. Организация для производства двух видов продукции использует два вида производственных ресурсов: А, В.

Вид ресурса	Расход ресурсов на единицу вида продукции, ед.*		Всего ресурсов, ед.
	1	2
А	а11	а12	а10
В	а21	а22	а20
Стоимость единицы вида продукции, ден.ед.	С1	С2	-

*) Если коэффициент при какой-либо переменной отрицательный, то предполагается, что соответствующий ресурс в данном процессе производится, а не расходуется.

Ресурсы могут быть недоиспользованы. Найти такое соотношение производства этих видов продукции, которое обеспечит максимальный объем производства продукции в стоимостном выражении.

Вариант	а11	а12	а10	а21	а22	а20	С1	С2	С0
1	1	2	3	1	1	1	1	2	4
2	2	4	8	2	2	4	2	1	3
3	-1	1	2	1	2	10	1	3	5
4	1	2	3	2	1	3	1	1	2
5	-2	3	6	3	-2	12	4	3	1
6	3	4	12	3	-4	8	2	5	4
7	1	2	4	2	-2	6	3	1	4
8	2	-1	6	1	4	4	1	1	5
9	1	4	8	1	2	4	1	6	3
10	2	1	4	1	2	4	1	1	-2
11	1	1	4	2	1	2	1	2	1
12	2	1	6	1	1	4	1	2	4
13	1	1	5	-1	1	3	2	4	1
14	-1	1	2	2	1	8	1	-3	3
15	2	1	5	2	-3	6	3	6	1
16	1	-1	2	2	1	6	1	1	-3
17	7	2	7	4	-2	2	1	2	2
18	-1	2	2	1	1	4	1	3	5
19	1	1	4	2	-1	3	1	1	-3
20	2	1	4	3	2	6	1	5	2
21	1	-1	2	2	3	9	2	1	-1
22	3	-4	6	1	2	4	2	3	-2
23	2	3	6	2	1	2	1	3	4
24	2	3	6	1	2	2	2	1	6
25	3	1	6	1	1	4	2	1	5
26	2	3	6	1	2	4	1	1	3
27	1	1	2	2	1	1	1	2	1
28	1	-1	1	2	1	4	1	1	-2
29	1	1	10	3	-1	5	1	4	9
30	2	5	10	2	1	6	3	-1	3
31	2	3	6	3	2	6	1	2	-3

Задание 3. Записать исходную задачу. Решить симплексным методом, проанализировать коэффициенты последней симплексной таблицы и двойственные оценки переменных.

1. Возделываются следующие культуры: горох, овес и кормовая свекла. Площадь посевов - 500 га, трудовые ресурсы - 33600 чел-ч, материально-денежные средства (МДС) - 100000 денежных единиц. Посевная площадь кормовой свеклы не более 50 га.

Таблица 1. Затраты труда, средств на 1 га и выход валовой продукции с 1 га культур

Культура	Затраты на 1 га		Выход валовой продукции с 1 га, денежные единицы
	труда, чел.-час	материально-денежных средств, денежные единицы
Горох	33,6	100	250
Овес	24	100	300
Кормовая свекла	336	250	800

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

2. В отделении возделываются культуры - многолетние и однолетние травы на зеленый корм и на сенаж. Площадь пашни - 400 га, трудовые ресурсы - 16000 чел-ч, площадь многолетних трав на зеленый корм - не более 100 га.

Таблица 2. Затраты труда на 1 га и выход кормов с 1 га

Показатели	Многолетние травы		Однолетние травы
	на зеленый корм	на сено	на зеленый корм	на сенаж
Затраты труда на 1 га, чел.-ч	16,0	24,0	32,0	40,0
Выход кормов с 1га, ц к.ед.	30,0	25,0	25,0	20,0

Критерий оптимальности - максимум производства кормов со всей площади.

3. Возделываются культуры: овес, озимая пшеница, картофель. Посевная площадь - 700 га, посевная площадь озимых зерновых – не более 1/3 от площади всех зерновых, посевная площадь картофеля - не более 200 га.

Таблица 3. Урожайность и цены реализации продукции

Культура	Урожайность, ц/га	Цена реализации 1 ц, ден. ед.
Овес	20,0	9
Озимая пшеница	25,0	13
Картофель	150,0	6

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

4. Возделываются три культуры: овес, кукуруза на силос, многолетние травы на сено. Площадь пашни - 600 га, трудовые ресурсы - 24000 чел.-час. Посевная площадь овса не должна превышать 200 га. Соотношение посевных площадей кукурузы на силос и многолетних трав следующее: площадь под кукурузой не более 1/2 общей площади пашни под этими культурами.

Таблица 4. Затраты труда на 1 га и выход кормов с 1 га

Культура	Выход кормов с 1 га, ц к.ед.	Затраты труда на 1 га, чел.- ч
Овес	25,0	24,0
Кукуруза на силос	24,0	16,0
Многолетние травы на сено	16,0	16,0

Найти оптимальное сочетание посевов этих культур, обеспечивающее наибольшее производство кормов в ц к.ед.

5. Возделываются картофель (его площадь не более 250 га), ячмень, горох. Посевная площадь - 1000 га, объем минеральных удобрений – 850 ц д.в.

Таблица 5. Нормы внесения удобрений, урожайность и цены реализации продукции

Культура	Нормы внесения минеральных удобрений на 1 га, ц д.в.	Урожайность, ц/га	Цены реализации 1 ц, ден. ед.
Картофель	3,0	100	6
Ячмень	1,0	20	9
Горох	2,0	15	20

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

6. Две культуры: кормовая свекла и кукуруза на силос могут возделываться или без орошения, или с поливом. Площадь орошаемой пашни - 200 га, площадь богарных (неполивных) земель - 600 га. Ресурсы труда - 96000 чел.-ч, ресурсы воды - 1500000 м³.

Таблица 6. Нормы затрат ресурсов и выход кормов

Показатель	Кормовая свекла		Кукуруза на силос
	на поливе	без полива	на поливе	без полива
Затраты труда, чел.-ч./га	400	160	240	160
Норма полива, тыс. м3/га	1,0	-	2,0	-
Выход кормов с 1 га, ц к. ед.	50,0	30,0	60,0	22,0

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимальное производство кормов в кормовых единицах.

7. Для производства кукурузы и гороха на зерно выделено 1200 га посевных площадей, 48000 чел.-ч трудовых ресурсов и 2500 тракторо-смен.

Таблица 7. Затраты ресурсов на 1 ц и цена реализации 1 ц

Показатель	Затраты на 1 ц
	кукурузы	гороха
Пашня, га	0,025	0,05
Трудовые ресурсы, чел.-ч	1,8	0,32
Трудовые ресурсы механизаторов, тракторо-смен	0,064	0,37
Цена реализации 1 ц, ден. ед.	5,5	10

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум валовой продукции в стоимостном выражении.

8. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовые ресурсы – 6000 чел.-дн., материально денежных средств – 1000000 ден.ед.

Таблица 8. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Капуста	500	8	150	30

Пшеницы должно быть произведено не менее 2000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

6. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовые ресурсы – 6000 чел.-дн., материально денежных средств – 100000 ден.ед.

Таблица 9. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Корнеплоды	300	8	150	30

Зерновых должно быть произведено не менее 3000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

Контрольные вопросы

1. Чему равняется значение целевой функции двойственной задачи?

2. Что является свободными членами ограничений двойственной задачи?

3. Что является коэффициентами целевой функции двойственной задачи?

4. Как записать решение двойственной задачи из решения прямой задачи?

5. Каков экономический смысл двойственных оценок?

6. Что представляют собой коэффициенты замещения?

7. Что показывают положительные коэффициенты замещения?

8. Что показывают отрицательные коэффициенты замещения?

9. Что такое косвенный эффект?

10. Что представляет собой чистый эффект?