Лабораторная работа № 14 «Метод искусственного базиса или м- метод»

Теоретическая часть

Правила перехода к М-задаче от исходной (основной) задачи

1. В ограничения типа меньше или равно () вводим неотрицательные дополнительные переменные с коэффициентом плюс единица.

2. В ограничения типа больше или равно () вводим неотрицательные дополнительные переменные с коэффициентом минус единица.

3. В ограничения, не содержащие базисные переменные, вводим неотрицательные искусственные базисные переменные y_i.

4. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с нулевым коэффициентом.

5. В целевую функцию искусственные базисные переменные при решении задачи на максимум целевой функции вводятся с коэффициентом "-М", а при решении задачи на минимум целевой функции вводятся с коэффициентом "+М", где "М" большое положительное число: М  10⁴.

Алгоритм М-метода решения задачи на максимум целевой функции

1. М-задача записывается в симплексную таблицу.

2. В первую строку симплексной таблицы записываются коэффициенты целевой функции, причем свободный член целевой функции записывается с противоположным знаком. В первый столбец записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных. Базисные переменные записываются во второй столбец.

3. Подсчитываются оценки по формуле оценок:

, j=0, 1,..., n

и записываются в последнюю строку таблицы.

4. Проверка решения на оптимальность по признаку: решение задачи на максимум целевой функции оптимально, если все оценки при переменных неотрицательные. Если критерий выполняется, то переход к пункту 12, если нет, то переход к пункту 5.

5. Разрешающий столбец выбирается по минимальной отрицательной оценке.

6. Если в разрешающем столбце есть хотя бы один положительный элемент, то переходим к пункту 7. Если нет, то целевая функция М-задачи не ограничена, переход к пункту 14.

7. Вычисляются симплексные отношения, то есть отношения неотрицательных свободных членов к строго положительным элементам разрешающего столбца и записываются в последний столбец.

8. По наименьшему симплексному отношению находится разрешающая строка.

9. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент.

10. Пересчет таблицы по общим правилам и заполнение новой таблицы.

11. Переход к пункту 4.

12. Запись оптимального решения М-задачи и значения целевой функции.

13. Если все искусственные переменные М-задачи равны нулю, то запись соответствующего решения основной задачи. Если хоты бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то необходимо корректировать условие основной задачи.

14. Если целевая функция М-задачи не ограничена, то необходимо в М-задачу ввести дополнительное ограничение:

х₁+ х₂+…+ х_n М и решить новую М-задачу. Если после решения новая М-задача

а) будет иметь оптимальное решение с нулевыми искусственными переменными, то целевая функция основной задачи не ограничена;

б) будет иметь оптимальное решение с ненулевыми искусственными переменными, то система ограничений основной задачи несовместная.

Пример выполнения работы

П ример

К аноническая форма записи:

В системе ограничений канонической формы нет единичного базиса. Необходимо ввести в 1-е и 3-е ограничения искусственные базисные переменные и перейти к М-задаче. Получим:

№1	Cj	0	4	2	1	0	0	-M	-M	7-2M	со сс
Ci	П БП	ai0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1	Y2	KΣ
-M	Y1	8	1	1	1	-1	0	1	0	11	8
0	X5	8	2	1	1	0	1	0	0	13	4 i*
-M	Y2	15	3	2	1	0	0	0	1	22	5
Z	j	-23M	-4M - - 4 j*	-3M -2	-2M --1	M	0	0	0	-31M -7	X

№2	Cj	0	4	2	1	0	0	-M	-M	7-2M	со C0
Ci	П БП	ai0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1	Y2	KΣ
-M	Y1	4	0	1/2	1/2	-1	-1/2	1	0	9/2	8
4	X1	4	1	1/2	1/2	0	1/2	0	0	13/2	8
-M	Y2	3	0	1/2	-1/2	0	-3/2	0	1	5/2	6 i*
Z	j	-7М+16	0	-М j*	1	M	2М+2	0	0	-5М+19	X

№3	Cj	0	4	2	1	0	0	-M	-M	7-2M	со C0
Ci	П БП	ai0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1	Y2	KΣ
-M	Y1	1	0	0	1	-1	1	1	-1	2	1 i*
4	X1	1	1	0	1	0	2	0	-1	4	1
2	Х2	6	0	1	-1	0	-3	0	2	5	-
	j	-М+16	0	0	-М+1 j*	М	-М+2	0	2М	19	X

№4	Cj	0	4	2	1	0	0	-M	-M	7-2M
Ci	П БП	ai0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1	Y2	KΣ
1	Х3	1	0	0	1	-1	1	1	-1	2
4	X1	0	1	0	0	1	1	-1	0	2
2	Х2	7	0	1	0	-1	-2	1	1	7
Z	j	15	0	0	0	1	1	М-1	М+1	2М+17

Так как все оценки при переменных неотрицательные, то решение М-задачи оптимальное. Так как все оценки при свободных переменных не равны нулю, то оптимальное решение единственное. Х_м^*(0,7,1,0,0,0,0), max Z_м = 15.

Искусственные переменные в оптимальном решении равны нулю, поэтому их можно отбросить и получить соответствующее оптимальное решение основной задачи: Х^*(0,7,1,0,0), max Z = 15. Базисная переменная Х₁ равна нулю, поэтому оптимальное решение – вырожденное.

Список индивидуальных заданий

Задание. Решить задачу.

1. min Z= x1+x2+5 4x1 + x2 2 x1+x2  6 x1  3 x1 0; x2  0	2. max Z= x1 + x2 +5 x1+ 2x2  2 3x1+ x2  3 x1+x2  4 x1 0; x2  0	3. max Z= 2x1+x2+4 -x1 + 2x2  3 x1+ 2x2  7 x1 0; x2  0
4. max Z= -x1-2x2+5 x1 + x2  1 x2  1 x1 0; x2  0	5. min Z= x2+6 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1 0; x2  0;	6. min Z= -x1-2x2+3 x1 + x2  1 x2  1 x1 0; x2  0
7. min Z= x1 + x2 +5 x1+ 4x2  2 x1+ x2  6 x1 0; x2  0	8. max Z= x1 - x2 +3 x1+ x2  1 x1+ x2  2 x1 0; x2 0	9. max Z= x2+6 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1 0; x2  0;
10. min Z= x2 -5 x1 + x2  1 x1+x2  2 x1-x2  3 x1 0; x2  0;	11. min Z= 2x1 + x2 +4 x1+ x2 3 x1- x2  2 x1 0; x2  0	12. min Z= x1+x2+5 x1 + 4x2 2 x1+x2  6 x1  3 x1 0; x2  0
13. max Z= 2x1 +5 x1 + 2x2 3 2x1+x2  3 x1 0; x2  0;	14. max Z= 2x1 - x2 +6 x1+ x2  4 2x1- x2  1 x1 0; x2  0	15. max Z= x1 + 2x2 +5 x1+ 3x2  3 2x1+ x2  3 x1+x2  4 x1 0; x2  0

16. Суточный рацион коровы должен содержать не менее 14,2 кг корм. ед. и 1650 г протеина. Концентратов должно быть не более 3,6 кг.

Таблица 1. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость 1 кг корма

Показатель	Зерно озимого ячменя	Солома	Зеленый корм люцерны
Содержится в 1 кг корма: кормовых единиц, кг к.ед.	1,2	0,2	0,2
переваримого протеина, г	80	18	35
Стоимость 1 кг корма, ден. ед	11	2	2,1

Найти оптимальное сочетание кормов, обеспечивающее минимум себестоимости рациона.

17. Возделываются картофель и ячмень. Картофеля должно быть произведено не менее 20000 ц, ячменя - не менее 3000 ц.

Таблица 2. Наличие ресурсов и их затраты на производство 1 ц картофеля и ячменя

Показатель	Затраты на 1 ц		Объем ресурсов
	картофеля	ячменя
Пашня, га	0,01	0,05	1000
Трудовые ресурсы чел.-ч	1,6	0,8	64000
Трудовые ресурсы механизоторов, тракторо-смен	0,021	0,03	900
Цена реализации 1 ц, ден. ед.	3	5

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

18. Производится зерно, сахарная свекла на корм и мясо свиней. На корм используется 60% валового сбора зерна и весь сбор сахарной свеклы.

Таблица 3. Наличие ресурсов и их затраты на производство 1 ц

Показатель	Зерно	Свекла	Привес свиней	Объем ресурсов
Затраты пашни на производство 1ц, га	0,05	0,005		5000
Затраты труда на 1 ц, чел.-ч	0,8	1,5	16	80000
Содержание ц кормовых единиц в 1 ц	1,2	0,26
Затраты корма на 1 ц привеса, ц к.ед.			5
Прибыль от реализации 1 ц, ден. ед.	5	3	60

Найти оптимальное сочетание производства зерна, сахарной свеклы на корм и мяса свиней, обеспечивающее максимум прибыли.

19. Составить условия размещения производства в хозяйстве в двух отделениях.

Таблица 4. Наличие ресурсов и их затраты на 1 ц

Показатель	I отделение	II отделение
Пшеница
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,05	0,06
труда, чел.-ч	0,80	0,90
Подсолнечник
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,06	0,07
труда, чел.-ч	0,40	0,40
Сахарная свекла
Затраты на 1 ц:
пашни, га	0,003	0,002
труда, чел.-ч	1,9	2,40
Объем ресурсов в двух отделениях:
пашни, га	500	600
труда, чел.-ч	80000	96000

В хозяйстве необходимо произвести 1200 ц пшеницы, 9000 ц подсолнечника, 12000 ц сахарной свеклы. Цена реализации 1 ц пшеницы - 14 денежных единиц, подсолнечника - 18 денежных единиц, сахарной свеклы - 10 денежных единиц.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум валовой продукции в стоимостном выражении.

20. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовые ресурсы – 6000 чел.-дн., материально денежных средств – 1000000 ден.ед.

Таблица 5. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Капуста	500	8	150	30

Пшеницы должно быть произведено не менее 2000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

21. Имеются ресурсы: пашни – 500 га, трудовые ресурсы – 6000 чел.-дн., материально-денежных средств – 100000 ден.ед.

Таблица 6. Затраты ресурсов на 1 га, урожайность и выход продукции с 1 га культур

Культуры	Урожайность, ц/га	Затраты ресурсов на 1 га		Выход продукции с 1 га, ден.ед.
		трудовых, чел.-дн.	материально- денежных средств, ден.ед.
Пшеница	20	4	100	20
Ячмень	24	4	50	25
Корнеплоды	300	8	150	30

Зерновых должно быть произведено не менее 3000 ц. Ресурсы могут быть недоиспользованы.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении.

Контрольные вопросы

1. Всегда ли М-задача имеет исходное опорное решение?

2. Всегда ли М-задача имеет оптимальное решение?

3. Всегда ли основная задача имеет оптимальное решение?

4. Что можно сказать о решении основной задачи, если все искусственные переменные равны нулю?

5. Что можно сказать о решении основной задачи, если не все искусственные переменные равны нулю?