Введение

Учебное пособие предназначено для использования студентами согласно Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности «Математические методы в экономике» (квалификация – экономист-математик), утвержденной 14 апреля 2000 г., который предусматривает следующие требования к содержанию дисциплины ОПД.Ф.02 «Математические методы и модели исследования операций»:

Экономические приложения (примеры типовых задач). Теория линейного программирования. Теория двойственности и экономические приложения. Численные методы решения задач линейного программирования. Задачи целочисленного программирования, их экономические приложения и методы решения.

Цель работы – дать основные теоретические понятия о задачах линейного программирования – раздел «Экономические приложения (примеры типовых задач)», необходимые для постановки и решения профессиональных задач, а также научить записывать экономические и математические условия задач в различных эквивалентных формах и переходить от записи в одной форме к другой - часть разделов «Теория линейного программирования» и «Численные методы решения задач линейного программирования».

Лабораторная работа № 13 «Решение задач линейного программирования в приложении ms Excel «Поиск решения»»

Теоретическая часть

Процедура Поиск решения представляет собой мощный инструмент для выполнения сложных вычислений. Она позволяет находить значения переменных, удовлетворяющих указанным критериям оптимальности, при условии выполнения заданных ограничений.

Наилучшие результаты она позволяет получить для задач выпуклого (в том числе линейного) программирования при условии отсутствия ограничений типа «равно».

Поиск решения можно использовать и для решения задач математического программирования других типов, но в этом случае процедура поиска часто заканчивается неудачей, а при благоприятном исходе находит лишь один из локальных оптимумов. Поэтому решение таких задач с помощью данной процедуры следует предварять их аналитическим исследованием на предмет свойств области допустимых решений, чтобы выбрать подходящие начальные значения и сделать правильное заключение о качестве и практической применимости полученного решения.

Результаты оптимизации оформляются в виде отчетов трёх типов:

• Результаты. Отражаются исходное (до оптимизации) и оптимальное значения целевой функции, значения переменных до и после оптимизации, а также формулы ограничений и дополнительные сведения об ограничениях.

• Устойчивость. Содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле целевой функции или в формулах ограничений. Отчет не создается для моделей, значения переменных в которых ограничены множеством целых чисел.

• Пределы (Ограничения). Состоит из верхнего и нижнего значения целевой функции и списка переменных, влияющих на нее, их нижних и верхних границ. Отчет не создается для моделей, значения переменных в которых ограничены множеством целых чисел. Нижней границей является наименьшее значение, которое может принимать переменная (влияющая ячейка) при условии, что значения других переменных (влияющих ячеек) фиксированы и удовлетворяют заданным ограничениям.

Для решения задачи оптимизации необходимо:

1. На рабочем листе Excel создать таблицу исходных данных, в которой должны отображаться формулы. Для этого необходимо предварительно дать команду Сервис/Параметры, выбрать вкладку Вид и установить флажок Формулы.

2. Запустить процедуру поиска решения, дав команду Сервис/Поиск решения, и в появившемся диалоговом окне Поиск решения заполнить поля:

• Установить целевую ячейку:

• Изменяя ячейки:

• Ограничения:

Целевая ячейка — ячейка на рабочем листе с таблицей исходных данных, куда занесена формула целевой функции.

Изменяемые ячейки — ячейки из таблицы исходных данных, отражающие значения переменных, которые необходимо найти в результате оптимизации. Ячейки не должны содержать формулы, их значения должны влиять на значение целевой ячейки¹.

Ограничения - задаются посредством кнопки Добавить и отражают связь формул ограничений с их свободными членами. Ограничения могут быть как скалярными (например, A1<=3; A2<=A3, где A1, A2, A3 — имена ячеек Excel), так и векторными (например, A1:A10>=B1:B10, где A1:A10, B1:B10 — диапазоны ячеек).

3. Получить отчеты оптимизации и провести их анализ.

Общая постановка задачи

Задача 1

Фирма производит две модели изделий. Для каждого изделия модели А требуется 3 ед. сырья, а для модели В – 4. Фирма от своих поставщиков получает до 1700 ед. сырья в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 0,2 ч машинного времени, а для изделия В – 0,5 ч. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю, чтобы получать максимальную прибыль, если каждое изделие модели А приносит 2 ден. ед. прибыли, а каждое изделие модели В – 4ден. ед. прибыли?

Переменные задачи:

x₁ - количество изделий типа А, ед.

x₂ - количество изделий типа В, ед.

Система ограничений:

3х₁+4х₂  1700 – баланс сырья (ед.)

0,2х₁+0,5х₂  160 – баланс времени (ч)

Целевая функция:

max Z = 2x₁+4x₂ –максимум прибыли .

Задача 2

Молочный завод производит молоко, кефир и сметану. На производство 1 ц молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01; 9,45 ц молока. Производство молока предполагает пастеризацию и разлив молока по 1л пакетам. Затраты рабочего времени при разливе 1 ц молока и кефира составляют 0,17 и 0,18 машино-часа. Расфасовка 1 ц сметаны на специальном автомате занимает 3,15 часа. Всего за сутки молочный завод может переработать 140 ц молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,0 машино-часа, а автомат по расфасовке сметаны - в течение 16 час. Прибыль от реализации 1ц молока, кефира и сметаны соответственно равна 31, 23 и 137 руб. Завод должен производить ежедневно не менее 90 ц молока в сутки.

Определить объемы выпуска молочной продукции каждого вида, позволяющие получить наибольшую прибыль.

Математическая формулировка задачи линейного программирования:

x₁ — выпуск пастеризованного молока, ц/сут.

x₂ — выпуск кефира, ц/сут.

x₃ — выпуск сметаны, ц/сут.

Система ограничений:

Баланс молока (сырья): 1,01x₁ + 1,01x₂ + 9,45x₃  140 (ц/сут.).

Балансы оборудования: 0,17x₁ + 0,18x₂  21 (ч/сут.), 3,15x₃  16 (ч/сут.)

Минимальный выпуск продукции: x₁   90 (т/сут.), x₂  10 (ц/сут.).

Условия неотрицательности: x₁  0, x₂  0, x₃  0 (ц/сут.).

Целевая функция:

max Z =31x₁ + 230x₂ +137x₃ (руб.).

Список индивидуальных данных

Получить решения задачи, приведённой в общей постановке к лабораторной работе, модифицируя её согласно индивидуальному варианту.

1. Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,25 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 12; 20; 22 ч/сут.

2. Производительность фасовки кефира: 4, 6, 8 ц/ч. Минимальный объём производства молока: 60, 90, 120 ц/сут.

3. Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,85; 1,05 ц/ц. Минимальный объём производства кефира: 0; 12,5; 25 ц/сут.

4. Затраты молока на производство сметаны: 9, 11, 15 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 15; 20; 22 ч/сут.

5. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч. Минимальный объём производства кефира: 0; 12,5; 25 ц/сут.

6. Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,85; 1,05 ц/ц. Максимальный объём поставок сырого молока: 100; 150; 250 ц/сут.

7. Затраты молока на производство сметаны: 9, 11, 13 ц/ц. Цена кефира: 750; 950; 1150 руб./ц.

8. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч. Цена молока: 700; 900; 1100 руб./ц.

9. Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,65; 0,75; 1,05 ц/ц. Цена сметаны: 4000; 4500; 5100 руб./ц.

10. Затраты молока на производство сметаны: 8,5; 10,5; 14 ц/ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 13; 18; 22 ч/сут.

11. Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,25 ц/ц. Цена сметаны: 4000; 4500; 5000 руб./ц.

12. Производительность фасовки сметаны: 0,16; 0,24; 0,35 ц/ч. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки молока и кефира — 16; 18; 22 ч/сут.

13. Затраты молока на производство сметаны: 9; 11,5; 13,5 ц/ц. Максимальный объём поставок сырого молока: 100; 175; 250 ц/сут.

14. Цена кефира: 900; 975; 1050 руб./ц. Суточный ресурс рабочего времени автомата для фасовки сметаны — 16; 18; 22 ч/сут.

15. Максимальный объём поставок сырого молока: 90; 180; 250 ц/сут. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,4 ц/ч.

16. Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1; 1,15 ц/ц. Цена сметаны: 4000; 4300; 5100 руб./ц.

17. Минимальный объём производства молока: 50; 80; 135 ц/сут. Затраты молока на производство кефира: 0,75; 1,05; 1,2 ц/ц.

18. Максимальный объём поставок сырого молока: 95; 130; 250 ц/сут. Затраты сырого молока на производство пастеризованного молока: 0,7; 0,85; 1,05 ц/ц.

19. Минимальный объём производства кефира: 10; 12; 25 ц/сут. Производительность фасовки сметаны: 0,15; 0,25; 0,35 ц/ч.

20. Производительность фасовки кефира: 4, 6, 8 ц/ч. Минимальный объём производства молока: 60; 85; 120 ц/сут.

Пример выполнения работы

Задача 1