На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца определяется разрешающий элемент и выполняются преобразования однократного замещения (аналогично симплексному методу).

Далее алгоритм повторяется с пункта 2 до получения оптимального целочисленного решения. Алгоритм метода Гомори конечен.

Для решения задачи на минимум целевая функция умножается на "-1" и в дальнейшем используется алгоритм решения задачи на максимум. При записи оптимального решения значение целевой функции умножается на минус единицу, то есть переходим от максимума целевой функции к минимуму.

Пример

Найти maxZ=x₁+3x₂, при условиях

x₁+x₂  1

x₁+2x₂  4

-x₁+2x₂  2

x₁  0; x₂  0

x₁, x₂ - целые

Сначала необходимо найти оптимальный план, не принимая во внимание условие целочисленности. Для этого приводим задачу к канонической форме, исходное опорное решение получаем методом искусственного базиса (М-методом), заносим в симплексную таблицу.

maxZ=x₁+3x₂ +0x₃ +0x₄ +0x₅ –My₁

x₁+x₂ – x₃+y₁ =1

x₁+2x₂ +x₄ = 4

-x₁+2x₂ +x₅ = 2

x_j  0, j=1 5, y₁  0

В четвертой симплексной таблице получено оптимальное решение задачи.

Так как искусственная переменная y₁=0, то можно исключить ее из таблицы и в дальнейшем не рассматривать.

Переменная x₂ и x₃ имеют дробные значения, т.е. условия целочисленности не выполняются. Так как дробные части значений переменных x₂ и x₃ равны, то можно выбрать любую переменную. Введем ограничение на целочисленность переменной x₂.

Определим коэффициенты дополнительного ограничения:

а_i0 = 3/2 – 1 =1/2 ( 1 – максимальное целое число, не превышающее 3/2);

а_i1 = а_i2 = а_i3 = 0 (0-0=0; 1-1=0)

а_i4 = 1/4-0=1/4

а_i5 =1/4-0=1/4

Получим дополнительное ограничение: 1/4х₄+1/4х₅≥1/2

Приводим это ограничение к каноническому виду:

1/4х₄+1/4х₅ – х₆ =1/2;

умножаем на "-1": -1/4х₄-1/4х₅ + х₆ = -1/2 и заносим в последнюю симплексную таблицу.

Принимаем новую строку за разрешающую и подсчитываем отношение неотрицательных оценок к строго отрицательным коэффициентам разрешающей строки. По наибольшему отрицательному отношению выбираем разрешающий столбец (это столбец x₅). Проводим преобразования однократного замещения.

В таблице 5 получено оптимальное решение (все _j 0) с целочисленными значениями переменных: Х*(2,1,2,0,2,0). MaxZ(X*)=5.

Общая постановка задачи

Найти оптимальное решение задачи симплексным методом без условий целочисленности. Проверить: является ли найденное решение целочисленным и если нет, то найти целочисленное решение методом Гомори.

Список индивидуальных данных

Задача 19. Необходимо забороновать не менее 375 га зяби. На эту работу можно выделить не более 7 тракторов двух марок А и В. Производительность трактора марки А - 80 га/смена, В – 40 га/смена. Затраты на работу на тракторе марки А – 50 ден.ед/смена –В – 20 ден.ед./смена. Необходимо направить на работу такое количество тракторов, чтобы затраты были минимальными , а работа выполнена за одну смену.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте общую постановку задачи целочисленного программирования.

2. Чем вызвана необходимость введения на переменные условия целочисленности?

3. На чем основывается метод Гомори?

4. Как реализуется принцип Гомори в процессе решения задачи симплексным методом?

5. Как определяется строка симплексной таблицы, по которой вводится дополнительное ограничение?

6. Как рассчитываются коэффициенты нового ограничения?

7. Какой тип ( ,  , =) имеет новое ограничение?

8. Как занести новое ограничение в симплексную таблицу?

9. Как выбирается разрешающая строка?

10. Как выбирается разрешающий столбец?

Лабораторная работа № 24 «Параметрическое программирование с параметром в целевой функции»

Теоретическая часть

Общая задача линейного программирования имеет вид:

В ней коэффициенты и свободный член целевой функции (с_j,c₀), коэффициенты системы ограничений (а_ij), свободные члены (а_i0), являются постоянными величинами. Однако на практике встречаются случаи, когда эти величины не являются постоянными, а их значения изменяются в некоторых интервалах. Кроме того, возникает необходимость не только получить конкретное оптимальное решение экономической задачи при фиксированных значениях с_j, а_ij, а_i0, но и исследовать зависимость оптимального решения от изменяющихся параметров, то есть установить, в каких допустимых пределах можно их изменять, чтобы план оставался оптимальным.

Исследование зависимости оптимального решения от изменяющихся параметров составляет предмет параметрического программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования с параметром в целевой функции.

Пусть коэффициент целевой функции С_j может изменяться в некоторых допустимых пределах, т.е. , где постоянные значения, а t – параметр, изменяющийся в некоторых пределах .

В этом случае задачу математически можно сформулировать следующим образом:

Дана линейная функция

Для каждого значения t в интервале , где произвольные действительные числа, найти неотрицательный вектор удовлетворяющий системе ограничений и обеспечивающий оптимальное значение целевой функции.

Методом параметрического программирования может решаться такая экономическая задача, как определение диапазона оптимального объема производства продукции при изменении условий (цен) реализации, при изменении себестоимости производства.

Алгоритм решения задач в полных симплексных таблицах на максимум целевой функции

1. Записать исходное опорное решение задачи в полную симплексную таблицу.

Форма симплексной таблицы несколько изменяется.

Таблица 1. Симплексная таблица для решения задач с параметром в целевой функции

В первых двух столбцах таблицы записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных, учитывая, что . В первых двух строках записываются коэффициенты целевой функции при всех переменных и свободный член. Дополнительно вводятся две строки, в которых подсчитываются _j^', _j^" по формулам:

2. Берём t = , где  - начальное значение параметра t (или t = t_нижн., т.е.нижней границе отрезка), при условии, что   - ∞.

Находим _j по формуле: _j = _j^'+t  _j^" и заполняем последнюю строку таблицы.

3. Проверяем решение на оптимальность (при решении на максимум все _j при переменных должны быть неотрицательные).

Если решение неоптимальное, то решаем задачу симплексным методом, выбирая разрешающий столбец по наименишей отрицательной общей оценке _j, полученной при t = , (или t = t_нижн., т.е.нижней границе отрезка), до получения оптимального плана (решения).

Если решение оптимальное, то переходим к пункту 4.

4. Если получено оптимальное решение, то определяем отрезок значений параметра t, для которых полученное решение сохраняет оптимальность.

Оптимальное решение, записанное в таблице, будет оптимальным до тех пор, пока неотрицательны все оценки _j при переменных, т.е. при определении отрезка значений параметра t составляем и решаем систему линейных неравенств:

 ₁^'+t ₁^" 0

₂^'+t  ₂^" 0

…

 _j^'+t  _j^" 0

Находим пределы изменения параметра t:

t_нижн. t  t_верхн.

5. Выписываем оптимальное решение на найденном отрезке из таблицы.

Если t_верхн.  , то решение закончено, если t_верхн.  , то переходим к пункту 6.

6. Для нахождения оптимального решения на следующем отрезке определяем разрешающий столбец.

Берем t = t_верхн. , которое является верхней границей предыдущего (найденного) интервала и нижней границей искомого (нового) интервала изменения параметра t.

Находим столбец, по которому _j = _j^'+t _j^"= 0. Этот столбец является разрешающим. При небольшом увеличении t (t > t_верхн.) оценка _j* станет отрицательной, найденное оптимальное решение потеряет свою оптимальность.

7. Выполняем симплексное преобразование однократного замещения с выбранным разрешающим столбцом и получим новое оптимальное решение, в котором _j вычисляются для t = t_нижн., искомого отрезка. Далее переходим к пункту 4.

Процесс решения задачи продолжается до тех пор, пока не закончится разбиение всего заданного интервала [;] на отрезки.

Замечание. Если задано t, то для начала исследования берём любую точку числовой оси ( принадлежащую заданному интервалу) и проводим исследования в обе стороны от первоначально полученного отрезка.

Пример выполнения работы

Найти max Z = (1+t) x₁+(1-t) x₂

x ₁+x₂  2

x₁  1

x₁  0, x₂  0

0  t  20

Последовательность решения.

Переходим к канонической форме записи:

x ₁+x₂+x₃ =2

x₁+x₄ = 1

x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0

max Z = (1+t) x₁+(1-t) x₂+(0+t0) x₃+(0+t0) x₄

1. Записываем исходное опорное решение в симплексную таблицу.

СО – симплексные отношения

2.Берем t = 0, т.е. начальному значению интервала изменения параметра. Находим _j по формуле: _j = _j^'+t _j^"

₀ = 0+0 0=0; ₁= -1+0 (-1)=-1; ₂= -1+0 1=-1 и т.д.

3. Проверяем решение на оптимальность (при решении на максимум все _j при переменных должны быть неотрицательные).

В нашем примере еще не получено оптимальное решение, т.к. ₁, и ₂ отрицательные. Решаем задачу симплексным методом до получения оптимального решения, которое получается в третьей симплексной таблице.

4. Определяем отрезок значений параметра t, для которых полученное решение сохраняет оптимальность. Для этого составляем систему неравенств:

₃= 1+ t (-1)  0 1- t  0

₄= 0+ t 2  0 2t  0

0  t  1

5. Выписываем оптимальное решение на отрезке 0  t  1.

, Z₁^*=2 + t0 = 2

t_верхн.=1. Так как t_верхн.=1 меньше 20 (конечного значения параметра t в заданном интервале), то решение параметрической задачи еще не закончено.

6. Для нахождения оптимального решения на следующем отрезке определяем разрешающий столбец.

Берем t = 1. Находим столбец, по которому _j = _j^'+t _j^"= 0. Этот столбец является разрешающим.

₃ = 1+ 1 (-1) =0

₄ = 0+1 2 = 2

Так как ₃ =0, то разрешающим столбцом будет столбец X₃ (см. табл. 3).

7. Выполняем симплексное преобразование однократного замещения с выбранным разрешающим столбцом и получим новое оптимальное решение.

8. Определяем отрезок значений параметра t, для которых полученное решение сохраняет оптимальность. Для этого составляем систему неравенств:

₂= -1+ t 1  0 -1+ t  0

₄= 1+ t 1  0 1+t  0

1  t  ∞

9. Выписываем оптимальное решение на отрезке 1  t  ∞

, Z₂^*=1 + t1 =1+t

10. Так как последний интервал изменения параметра равен 1  t  ∞, то  = 20 входит в найденный интервал. Решение закончено.

Ответ: , Z₁^*=2 на отрезке 0  t  1.

, Z₂^*=1+t на отрезке 1  t  ∞, в т.ч. на отрезке 1  t  20

Индивидуальное задание

Общая постановка задачи

Задача определения оптимального объема производства продукции при изменении условий реализации.

Предприятие выпускает два вида продукции, для изготовления которых используются различные виды сырья. Известны расходы сырья каждого вида на производство единицы данного вида продукции и запасы сырья на предприятии. Установлено, что цена единицы продукции может изменяться в определенных пределах. Сырье может быть недоиспользовано.

Найти оптимальный план производства продукции в условиях изменения цен реализации такой, чтобы обеспечить максимум общей стоимости произведенной продукции.

Задание. По исходным данным записать задачу параметрического программирования в исходной форме и выполнить решение согласно алгоритму.

Список индивидуальных данных:

Таблица 2. Варианты индивидуальных заданий.

Таблица 3. Исходные данные

Контрольные вопросы

1. Какие изменения вносятся в симплексную таблицу при решении задачи линейного программирования с параметром в целевой функции?

2. По какой формуле вычисляются оценки _j?

3. Каким образом получают оптимальное решение в симплексной таблице?

4. Как определяют отрезок значений параметра t, для которого в таблице получено оптимальное решение?

5. Как выписывается из таблицы оптимальное решение на найденном отрезке?

6. Как выбирается разрешающий столбец для получения оптимального решения на следующем отрезке?

7. Какие действия выполняются после определения разрешающего столбца?

8. Как долго продолжается процесс решения задачи?

Лабораторная работа № 25. «Параметрическая транспортная задача с параметром в целевой функции»

Теоретическая часть

При решении транспортных задач мы рассматривали перевозку однородного груза. Часто на практике решают параметрические транспортные задачи с параметром в целевой функции, то есть коэффициенты транспортных затрат заданы с параметром. Так при перевозке груза разными марками автомашин с неодинаковой грузоподъёмностью затраты на перевозку одной тонны груза могут изменяться. В этом случае возможность изменения коэффициентов транспортных затрат учитывается с помощью параметра. Параметр t задаётся на интервале [,],  – нижняя (начальная) граница интервала,  – верхняя (конечная) граница данного интервала.

Алгоритм решения параметрической транспортной задачи с параметром в целевой функции

1. Записывают условие транспортной задачи в распределительную таблицу, причём коэффициенты транспортных затрат - с параметром t.

2. Проверяют, является ли модель задачи закрытой. Если да, то переходят к пункту 3, если нет, то введением фиктивного отправителя или фиктивного потребителя сводят задачу к закрытой модели.

3. Если навык решения транспортной задачи есть, то мысленно, если нет, то письменно полагают t=t нижней границе рассматриваемого интервала.

4. Любым известным методом находят оптимальный план (оптимальное решение) грузоперевозок при этом t.

5. Выписывают характеристики свободных переменных (клеток) для оптимального решения и составляют неравенства, наложив на них условие неположительности.

6. Из решения системы неравенств неположительности характеристик свободных клеток определяют интервал, на котором найденный план грузоперевозок останется оптимальным (t _{нижняя граница} t   t _{верхняя граница}).

7. Проводят преобразование однократного замещения по циклу свободной клетки, характеристика которой при подстановке t=t_{верхняя граница} обратится в ноль, а при подстановке tt_{верхняя граница} станет положительной.

8. Переход к пункту 5. Процесс решения выполняется до тех пор, пока не будет исследован весь заданный интервал изменения параметра t.

Замечание. Преобразование однократного замещения по циклу свободной клетки – это нахождение = min{x_ij} в четных клетках цикла, перемещение по вершинам цикла (прибавление к переменным в нечётных вершинах цикла и вычитание  из переменных в чётных вершинах цикла). Переменная, находящаяся в свободной клетке цикла, становится базисной, свободная клетка цикла становится занятой, а одна из базисных переменных (из клеток) цикла становится свободной. При этом ранг задачи не меняется. Баланс строчек и столбцов таблицы не нарушается.

Пример выполнения работы

Задание. Записать транспортную задачу с параметром в целевой функции в распределительную таблицу и решить её.

Необходимо перевезти груз от трёх поставщиков пяти потребителям с минимальными затратами на грузоперевозку. Ресурсы, потребности и коэффициенты транспортных затрат даны в таблице. Параметр t принадлежит интервалу [0,1].

Потребности Ресурсы	b1 10	b2 20	b3 25	b4 15	b5 30
а1 20	1+t	12-t	2t	1+2t	2+t
а2 30	2	1+t	2t+1	4-t	6-t
а3 50	t+1	4-t	3-t	t+2	2t-1

Найдём исходное опорное решение методом минимального элемента в таблице, приняв t=0.

Потребности Ресурсы	10	20	25	15	30	Ui
20	1+t	12-t	2t 20	1+2t	2-t	0
30	2	1+t 20	2t+1 5	4-t 5	6-t	1
50	t+1 10	4-t	3-t	t+2 10	2t-1 30	2t-1
Vj	-t+2	t	2t	3-t	0

Проверяем решение на оптимальность. Находим потенциалы по формуле: Cij= U_i +V_j , где U₁ =0, Cij - коэффициенты транспортных затрат базисных клеток (переменных).

Вычисляем характеристики свободных клеток по формуле:

_ij U_i +V_j)- Cij. Тогда _0-t+2)-(1+t)=1-2t; _2(0+t)- (12-t)=2t-12;

_(0+3-t)- (1+2t)=2-3t; _(0+0)- (2-t)=t-2; ₂₁(1-t+2)- 2=1-t;

₂₅(0+1)- (6-t)=t-5; ₃₂(2t-1+t)-(4-t)=4t-5; _(2t-1+2t)- (3-t)=5t-4.

Решение неоптимальное, так как при t=0 есть неотрицательные характеристики (оценки) свободных клеток. Это _=1; _2; ₂₁1; выбираем среди них максимальную. _2 - максимальная неотрицательная характеристика. Для этой клетки строим замкнутый цикл: [1,4]-[1,3]-[2,3]-[2,4]-[1,4], имеющий соответственно знаки вершин: +, -,+, -. Перемещаем по циклу. Строим новую таблицу

Потребности Ресурсы	10	20	25	15	30	Ui
20	1+t	12-t	2t 15	1+2t 5	2-t	0
30	2	1+t 20	2t+1 10	4-t	6-t	1
50	t+1 10	4-t	3-t	t+2 10	2t-1 30	-t+1
Vj	2t	t	2t	1+2t	3t-2

Проверяем решение на оптимальность. Находим потенциалы по формуле: C_ij= U_i +V_j , где U₁ =0, C_ij - коэффициенты транспортных затрат базисных клеток (переменных).

Вычисляем характеристики свободных клеток по формуле:

_ij U_i +V_j)- C_ij. Тогда _0+2t)-(1+t)= -1+t; _2(0+t)- (12-t)=2t-12;

_(0+3t-2)- (2-t)=4t-4; ₂₁(1+2t)- 2= -1+2t; _(1+1+2t)- (4-t)=--2+3t;

₂₅(1+3t-2)- (6-t)=4t-7; ₃₂(-t+1+t)-(4-t)=t-3; _(2t-t+1)- (3-t)=2t-2.

Решение оптимальное, так как при t=0 все характеристики (оценки) свободных клеток неположительные.

Находим интервал изменения t, на котором решение остаётся оптимальным. Выписываем характеристики свободных переменных (клеток) для оптимального решения и составляем неравенства, наложив на них условие неположительности. _ij U_i +V_j)- C_ij 0.

Получаем систему:

-1+t0; 2t-120; 4t-40; -1+2t0; -2+3t0; 4t-70; t-30; 2t-20. Откуда: t1; t; t1; t0,5; t2/3; t7/4; t3; t1.

Решением системы является t(-; ½]. По условию t[0; 1]. Поэтому суживаем интервал изменения t. Получаем при t[0; ½] сохраняется оптимальное решение

X=

min Z= 2t1+2t)1+t)2t+1)t+1)10 +(t+2)10 +(2t-1) 30=

=30t +5+10t+20+20t+20t+10+10 t+10+10 t+20+60t-30=160 t+35.

Переходим к новой распределительной таблице. Проводим преобразование однократного замещения по циклу свободной клетки, характеристика которой при подстановке t=t_{верхняя граница} обратится в ноль.

Это клетка [2,1]. Строим для неё цикл: [2,1]-[2,3]-[1,3]-[1,4]-[3,4]-[3,1]-[2,1]. Из переменных в нечётных клетках (с отрицательными вершинами цикла) выбираем Перемещаем по циклу. Заполняем следующую таблицу.

Потребности Ресурсы	10	20	25	15	30	Ui
20	1+t	12-t	2t 20	1+2t	2-t	0
30	2 5	1+t 20	2t+1 5	4-t	6-t	1
50	t+1 5	4-t	3-t	t+2 15	2t-1 30	t
Vj	1	t	2t	2	t-1

Проверяем балансы строк, балансы столбцов и ранг. Всё совпадает; таблица построена верно. Проверяем решение на оптимальность. Подсчитываем потенциалы строк и столбцов и вносим их в таблицу. Находим характеристики (оценки) свободных клеток.

_ij U_i +V_j)- Cij. Тогда _0-1)-(1+t)= -t; _2(0+t)- (12-t)=2t-12;

_(0+2)- (1+2t)=1-2t; _(0+ t-1)- (2-t)=2t-3; ₂₄(1+2)- (4-t )=-1+ t;

₂₅(1+ t-1)- (6-t)=2t-6; ₃₂(t+t)-(4-t)=3t-4; _(t+2t)- (3-t)=4t-3.

При t=1/2 все характеристики неположительные. Следовательно, решение оптимальное.

Находим интервал изменения t, на котором решение остаётся оптимальным. Выписываем характеристики свободных переменных (клеток) для оптимального решения и составляем неравенства, наложив на них условие неположительности. _ij U_i +V_j)- C_ij 0.

Получаем систему:

_ij U_i +V_j)- Cij. Тогда _0-1)-(1+t)= -t; _2(0+t)- (12-t)=2t-12;

_(0+2)- (1+2t)=1-2t; _(0+ t-1)- (2-t)=2t-3; ₂₄(1+2)- (4-t )=-1+ t;

₂₅(1+ t-1)- (6-t)=2t-6; ₃₂(t+t)-(4-t)=3t-4; _(t+2t)- (3-t)=4t-3.

-t0; 2t-120; 1-2t0; 2t-30; -1+ t0; 2t-60; 3t-40; 4t-30. Откуда: t0; t; t1/2; t3/; t1; t3; t3. t3/.

Решением системы является t[1/2; 3/4]. По условию t[0; 1].

Поэтому весь интервал не исследован.

Получаем при t[1/2; 3/4] сохраняется оптимальное решение

X=

min Z= 2t21+t)2t+1)t+1) +(t+2)15 +(2t-1) 30=

=40t +10+20+20t+10t+5+5t+5+15t+30+60t-30=150 t+40.

Переходим к новой распределительной таблице. Проводим преобразование однократного замещения по циклу свободной клетки, характеристика которой при подстановке t=t_{верхняя граница} обратится в ноль.

Это клетка [3,3]. Строим для неё цикл: [3,3]-[2,3]-[2,1]-[3,1]-[3,3]. Из переменных в нечётных клетках (с отрицательными вершинами цикла) выбираем Перемещаем по циклу. Заполняем следующую таблицу.

Потребности Ресурсы	10	20	25	15	30	Ui
20	1+t	12-t	2t 20	1+2t	2-t	0
30	2 10	1+t 20	2t+1	4-t	6-t	4-4t
50	t+1 0	4-t	3-t 5	t+2 15	2t-1 30	3-3t
Vj	4t-2	5t-3	2t	4t-1	5t-4

Проверяем балансы строк, балансы столбцов и ранг. Всё совпадает; таблица построена верно. Проверяем решение на оптимальность.

Находим интервал изменения t, на котором решение остаётся оптимальным. Выписываем характеристики свободных переменных (клеток) для оптимального решения и составляем неравенства, наложив на них условие неположительности. _ij = (U_i +V_j)- C_ij 0.

Получаем систему:

_ij U_i +V_j)- Cij. Тогда _0+4t-2)-(1+t)= 3t-3; _2(0+5t-3)- (12-t)=6t-15; _(0+4t-1)- (1+2t)= -2+2t; _(0+ 5t-4)- (2-t)=6t-6; _(4-4t+2t)- (2t+1)= -4t+3. ₂₄(4-4t+4t-1)- (4-t )= -1+ t; ₂₅(4-4t+5t-4)-(6-t)=2t-6; ₃₂(3-3t+5t-3)-(4-t)=3t-4;

3t-30; 6t -150; -2+2t0; 6t-60; -4t+30; -1+t0; 2t-60; 3t-40; Откуда: t1; t5/2; t1; t1; t3/4; t1; t3; t3.

Решением системы является t[3/4;1]. По условию t[0; 1]. Так как t=t_{верхняя граница}=то поэтому весь интервал исследован.

Получаем, что при t[3/4;1] сохраняется оптимальное решение. Кроме того решение вырожденное, так как одна из базисных переменных (x₃₁ =0) равна нулю.

X=

min Z= 2t21+t)+( t+1)0 +(3-t)5t+2)1 +(2t-1) 30=

=40t +20+20+20t+0+15-5t+15t+30+60t-30=130t+55.

Ответ. Заданный интервал изменения параметра t (t[0; 1]) разбит на три интервала:

на 1-ом интервале t[0; ½] получено оптимальное решение

X=

min Z= 160 t+35;

на 2-ом интервале t[1/2; 3/4] получено оптимальное решение

X=

min Z= 150 t+40;

на 3-ем интервале t[3/4;1] найдено вырожденное оптимальное решение

X=

min Z= 130t+55.

Индивидуальное задание

Общая постановка задачи

Записать транспортную задачу с параметром в целевой функции в распределительную таблицу. Найти оптимальные планы перевозки однородного груза от поставщиков к потребителям, обеспечивающие минимальные транспортные расходы и учитывающие параметры в целевой функции. Исследовать весь интервал изменения параметра.

Список индивидуальных данных

1. Получить исходное опорное решение методами: или «северо-западного» угла, или наименьшего элемента в строке, в столбце, в таблице. Подсчитать значение целевой функции при полученном исходном опорном решении.

2. Получить оптимальное решение методом потенциалов, улучшая исходное опорное решение, полученное в п.1.

Таблица 1. Варианты заданий к транспортной задаче с параметром в целевой функции

Таблица 2. Значение параметров для целевой функции

Контрольные вопросы

1. Всегда ли параметрическая транспортная задача с параметром в целевой функции имеет оптимальное решение (план)?

2. Какая параметрическая транспортная задача называется: закрытой, открытой?

3. Как свести открытую параметрическую транспортную задачу к закрытой?

4. Чему равно число основных (базисных) переменных закрытой параметрической транспортной задачи?

5. Как найти исходное опорное решение параметрической транспортной задачи методом «северо-западного угла»?

6. Как найти исходное опорное решение параметрической транспортной задачи методом наименьшего элемента?

7. Как проверить найденное опорное решение параметрической транспортной задачи на оптимальность?

8. Опишите метод потенциалов, используемый для нахождения оптимального плана перевозок параметрической транспортной задачи .

9. Как осуществляется выбор переменной, выводимой из списка базисных переменных? Правила построения цикла. Как осуществляется выбор ?

10. Как осуществляется выбор переменной, вводимой в список базисных переменных?

11. Как находиться интервал изменения параметра t, в котором сохраняется оптимальность решения?

Глоссарий основных понятий

Рекомендуемая литература

а) Основная литература

1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981

2. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. - М.: Высшая школа, 1967

3. Красс М.С.Математические методы и модели. М.: Финансы и статистика, 2007

4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: ДЕЛО, 2001

5. Красс М.С.,Чупрынов Б.П. Основы математики. М.: Финансы и статистика, 2005

6. Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 1997, 2003, 2004

7. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций. Гриф УМЦ "Профессиональный учебник".-М.: ЮНИТИ, 2005

8. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980,1986

9. Математическое программирование. /Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Финстатинформ, 1995

10. Математические методы в экономике: учеб. пособие/Л.Э. Хазанова. – 3-е изд., стереотип. – М., Волтерс Клувер, 2005. – 144с.

11. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. Учебник.-М.: Дашков и К°, 2005

б) Дополнительная литература

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986

2. Астафьев Н.Н. Линейные неравенства и выпуклость. М.: Наука, 1982

3. Банди Б. Основы линейного программирования. М.: Радио и связь, 1989

4. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982

5. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование (теория, методы и приложения). – М.: Наука, 1969

6. Карпилевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, 1967

7. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. –М.: Мир, 1966

8. Максимилиан С.В., Замбицкий М.К. Линейное программирование. Кишинев: Штиинца, 1981

9. Мустаф, Брюс. Современное линейное программирование: Теория и практика. М.: Мир, 1984

10. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

11. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982

12. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч.1.- М.: Финансы и статистика, 2001,2007

1 Рекомендуется перед началом оптимизации вводить в эти ячейки начальные значения, максимально близкие к предполагаемому оптимальному значению — это ускоряет поиск решения и повышает шансы на его успешное завершение.

133